Algebra Beispiele

$\frac{a^{2} - 1}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{a^{2} - 1^{2}}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{a^{3} + 1^{3}} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Schritt 2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 a + 1^{2}}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 a = 2 \cdot a \cdot 1$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{{(a + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 1$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $a + 1$ aus ${(a + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{(a + 1) (a + 1)}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2} - a + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $a^{2} - a + 1$ aus $(a + 1) (a^{2} - a + 1)$ heraus.

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a - 1}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} \cdot \frac{a^{2} - a + 1}{a + 1}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a - 1}{a + 1} \cdot \frac{1}{a + 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{a - 1}{a + 1}$ mit $\frac{1}{a + 1}$ .

$\frac{a - 1}{(a + 1) (a + 1)}$

Schritt 5

Potenziere $a + 1$ mit $1$ .

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} (a + 1)}$

Schritt 6

Potenziere $a + 1$ mit $1$ .

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1} {(a + 1)}^{1}}$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{1 + 1}}$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a - 1}{{(a + 1)}^{2}}$