Algebra Beispiele

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

Schritt 1

Setze $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ gleich $0$ .

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $r$ aus $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{5}$ heraus.

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $r$ aus $- 7 r^{3}$ heraus.

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $r$ aus $- 8 r$ heraus.

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2.4

Faktorisiere $r$ aus $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ heraus.

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.2.5

Faktorisiere $r$ aus $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ heraus.

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $r^{4}$ als ${(r^{2})}^{2}$ um.

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.4

Es sei $u = r^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $r^{2}$ .

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $u^{2} - 7 u - 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 8$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 8, 1$

Schritt 2.1.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.6.1

Ersetze alle $u$ durch $r^{2}$ .

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.6.2

Entferne unnötige Klammern.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.7

Schreibe $r^{4}$ als ${(r^{2})}^{2}$ um.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Schritt 2.1.8

Es sei $u = r^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Schritt 2.1.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ und deren Summe gleich $b = - 43$ ist.

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Schritt 2.1.9.1.1

Faktorisiere $- 43$ aus $- 43 u$ heraus.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Schritt 2.1.9.1.2

Schreibe $- 43$ um als $5$ plus $- 48$

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

Schritt 2.1.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Schritt 2.1.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Schritt 2.1.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

Schritt 2.1.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u + 1$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

Schritt 2.1.10

Ersetze alle $u$ durch $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $r^{2} + 1$ aus $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ heraus.

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Schritt 2.1.11.1

Faktorisiere $r^{2} + 1$ aus $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ heraus.

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.11.2

Faktorisiere $r^{2} + 1$ aus $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ heraus.

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.13

Multipliziere $r$ mit $r^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.13.1

Mutltipliziere $r$ mit $r^{2}$ .

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Schritt 2.1.13.1.1

Potenziere $r$ mit $1$ .

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.13.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.14

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

Schritt 2.1.15

Stelle die Terme um.

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

Schritt 2.1.16

Faktorisiere.

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Schritt 2.1.16.1

Schreibe $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.16.1.1

Faktorisiere $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1.16.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Schritt 2.1.16.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Schritt 2.1.16.1.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.1.16.1.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Schritt 2.1.16.1.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Schritt 2.1.16.1.1.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Schritt 2.1.16.1.1.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Schritt 2.1.16.1.1.3.5

Addiere $27$ und $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Schritt 2.1.16.1.1.3.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$72 - 24 - 48$

Schritt 2.1.16.1.1.3.7

Subtrahiere $24$ von $72$ .

$48 - 48$

Schritt 2.1.16.1.1.3.8

Subtrahiere $48$ von $48$ .

$0$

Schritt 2.1.16.1.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $r - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

Schritt 2.1.16.1.1.5

Dividiere $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ durch $r - 3$ .

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Schritt 2.1.16.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

Schritt 2.1.16.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $r^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

Schritt 2.1.16.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

Schritt 2.1.16.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $r^{3} - 3 r^{2}$

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

Schritt 2.1.16.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

Schritt 2.1.16.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Schritt 2.1.16.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $8 r^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Schritt 2.1.16.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

Schritt 2.1.16.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $8 r^{2} - 24 r$

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

Schritt 2.1.16.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

Schritt 2.1.16.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Schritt 2.1.16.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 r$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Schritt 2.1.16.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

Schritt 2.1.16.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 r - 48$

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

Schritt 2.1.16.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

Schritt 2.1.16.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$r^{2} + 8 r + 16$

Schritt 2.1.16.1.1.6

Schreibe $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ als eine Menge von Faktoren.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

Schritt 2.1.16.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.16.1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

Schritt 2.1.16.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

Schritt 2.1.16.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 2.1.16.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = r$ und $b = 4$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

Schritt 2.1.16.2

Entferne unnötige Klammern.

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $r^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $r^{2} + 1$ gleich $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $r^{2} + 1 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = - 1$

Schritt 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \pm i$

Schritt 2.3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = i$

Schritt 2.3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - i$

Schritt 2.3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = i, - i$

Schritt 2.4

Setze $r - 3$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $r - 3$ gleich $0$ .

$r - 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 3$

Schritt 2.5

Setze ${(r + 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze ${(r + 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(r + 4)}^{2} = 0$

Schritt 2.5.2

Löse ${(r + 4)}^{2} = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Setze $r + 4$ gleich $0$ .

$r + 4 = 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$r = i, - i, 3, - 4$

Schritt 3