Algebra Beispiele

$f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ als Gleichung.

$y = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{y}{3})}^{3} + 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$ um.

${(\frac{y}{3})}^{3} + 6 = x$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{3}$ an.

$\frac{y^{3}}{3^{3}} + 6 = x$

Schritt 3.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{y^{3}}{27} + 6 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{3}}{27} = x - 6$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $27$ .

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 \frac{y^{3}}{27} = 27 (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 27 (x - 6)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $27 (x - 6)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 27 x + 27 \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 6$ .

$y^{3} = 27 x - 162$

Schritt 3.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{27 x - 162}$

Schritt 3.7

Vereinfache $\sqrt[3]{27 x - 162}$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $27$ aus $27 x - 162$ heraus.

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Schritt 3.7.1.1

Faktorisiere $27$ aus $27 x$ heraus.

$y = \sqrt[3]{27 (x) - 162}$

Schritt 3.7.1.2

Faktorisiere $27$ aus $- 162$ heraus.

$y = \sqrt[3]{27 x + 27 \cdot - 6}$

Schritt 3.7.1.3

Faktorisiere $27$ aus $27 x + 27 \cdot - 6$ heraus.

$y = \sqrt[3]{27 (x - 6)}$

Schritt 3.7.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{3^{3} (x - 6)}$

Schritt 3.7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) - 6}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}} + 6 - 6}$

Schritt 5.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 6 - 6}$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27} + 0}$

Schritt 5.2.6

Addiere $\frac{x^{3}}{27}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{27}}$

Schritt 5.2.7

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3^{3}}}$

Schritt 5.2.8

Schreibe $\frac{x^{3}}{3^{3}}$ als ${(\frac{x}{3})}^{3}$ um.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 \sqrt[3]{{(\frac{x}{3})}^{3}}$

Schritt 5.2.9

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 5.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x}{3})}^{3} + 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (3 \sqrt[3]{x - 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(\frac{3 \sqrt[3]{x - 6}}{3})}^{3} + 6$

Schritt 5.3.3.1.2

Dividiere $\sqrt[3]{x - 6}$ durch $1$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {\sqrt[3]{x - 6}}^{3} + 6$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 6}}^{3}$ als $x - 6$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 6}$ als ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 6$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 6$

Schritt 5.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = {(x - 6)}^{\frac{3}{3}} + 6$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = (x - 6) + 6$

Schritt 5.3.3.2.5

Vereinfache.

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x - 6 + 6$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (3 \sqrt[3]{x - 6}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{x}{3})}^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt[3]{x - 6}$