Algebra Beispiele

$f (x) = 9 x^{2}$ , $x \leq 0$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[0, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[0, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 0$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = 9 y^{2}$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $9 y^{2} = x$ um.

$9 y^{2} = x$

Schritt 2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = x$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = x$ durch $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x}{9}$

Schritt 2.2.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{9}$

Schritt 2.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{9}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x}{9}}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $\frac{x}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} x$ um.

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Schritt 2.2.4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{9}}$

Schritt 2.2.4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.2.4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} x}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} x}$

Schritt 2.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{x}$

Schritt 2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{3}$

Schritt 2.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x}}{3}$

Schritt 2.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x}}{3}$

Schritt 2.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{x}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{x}}{3}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x}}{3}, - \frac{\sqrt{x}}{3}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt{x}}{3}, x \geq 0$

Schritt 4