Algebra Beispiele

$\sqrt{6 x - 18} + 6 \leq 15$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{6 x - 18}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{6 x - 18} \leq 15 - 6$

Schritt 1.2

Subtrahiere $6$ von $15$ .

$\sqrt{6 x - 18} \leq 9$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{6 x - 18}}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x - 18}$ als ${(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 x - 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 x - 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 x - 18)}^{1} \leq 9^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$6 x - 18 \leq 9^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$6 x - 18 \leq 81$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $18$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$6 x \leq 81 + 18$

Schritt 4.1.2

Addiere $81$ und $18$ .

$6 x \leq 99$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x \leq 99$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x \leq 99$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{99}{6}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{99}{6}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{99}{6}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $99$ und $6$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $99$ heraus.

$x \leq \frac{3 (33)}{6}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x \leq \frac{3 \cdot 33}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \leq \frac{3 \cdot 33}{3 \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \leq \frac{33}{2}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{6 (x - 3)} - 9$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{6 (x - 3)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$6 (x - 3) \geq 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (x - 3) \geq 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (x - 3) \geq 0$ durch $6$ .

$\frac{6 (x - 3)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x - 3)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Dividiere $x - 3$ durch $1$ .

$x - 3 \geq \frac{0}{6}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x - 3 \geq 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 3$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[3, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 3$

$3 < x < \frac{33}{2}$

$x > \frac{33}{2}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{6 (0) - 18} + 6 \leq 15$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < \frac{33}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < \frac{33}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{6 (6) - 18} + 6 \leq 15$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $10.24264068$ ist kleiner als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{33}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{33}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 19$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $19$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{6 (19) - 18} + 6 \leq 15$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $15.79795897$ ist größer als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 3$ Falsch

$3 < x < \frac{33}{2}$ Wahr

$x > \frac{33}{2}$ Falsch

$x < 3$ Falsch

$3 < x < \frac{33}{2}$ Wahr

$x > \frac{33}{2}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$3 \leq x \leq \frac{33}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$3 \leq x \leq \frac{33}{2}$

Intervallschreibweise:

$[3, \frac{33}{2}]$

Schritt 10