Algebra Beispiele

$K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 y + 1}{3 y - 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $3 y - 2$ .

$(3 y - 2) (x) = (\frac{2 y + 1}{3 y - 2}) (3 y - 2)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x - 2 x = (\frac{2 y + 1}{3 y - 2}) (3 y - 2)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x - 2 x = \frac{2 y + 1}{3 y - 2} (3 y - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 y x - 2 x = 2 y + 1$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 2 x - 2 y = 1$

Schritt 3.4.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x - 2 y = 1 + 2 x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $3 y x - 2 y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $3 y x$ heraus.

$y (3 x) - 2 y = 1 + 2 x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y (3 x) + y \cdot - 2 = 1 + 2 x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (3 x) + y \cdot - 2$ heraus.

$y (3 x - 2) = 1 + 2 x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 2) = 1 + 2 x$ durch $3 x - 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (3 x - 2) = 1 + 2 x$ durch $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 2$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{3 x - 2} + \frac{2 x}{3 x - 2}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $K^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ die Umkehrfunktion von $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $K^{- 1} (K (x)) = x$ ist und $K (K^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $K^{- 1} (K (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$K^{- 1} (K (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $K$ in $K^{- 1}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2})}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{1 + \frac{2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x - 2}{3 x - 2} + \frac{2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x - 2 + 2 (2 x + 1)}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.4

Stelle die Terme um.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (2 x + 1) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe $\frac{3 x + 2 (2 x + 1) - 2}{3 x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 1 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 4 x + 2 \cdot 1 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 4 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.5.4

Addiere $3 x$ und $4 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.5.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.3.5.6

Addiere $7 x$ und $0$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} - 2}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} - 2 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1)}{3 x - 2} + \frac{- 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 6 x - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x + 3 - 6 x + 4}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.7

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 3 + 4}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.8

Addiere $0$ und $3$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 4}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.9

Addiere $3$ und $4$ .

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{7}{3 x - 2}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Schritt 5.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 2$ .

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Schritt 5.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Schritt 5.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$K^{- 1} (\frac{2 x + 1}{3 x - 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $K (K^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$K (K^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $K^{- 1}$ in $K$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) + 1}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + 1}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 (1 + 2 x) + 3 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Terme um.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 (1 + 2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe $\frac{3 x + 2 (1 + 2 x) - 2}{3 x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 + 2 (2 x) - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{3 x + 2 + 4 x - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.5.4

Addiere $3 x$ und $4 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 2 - 2}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.5.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x + 0}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.3.5.6

Addiere $7 x$ und $0$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) - 2}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} - 2}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} - 2 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x)}{3 x - 2} + \frac{- 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 (1 + 2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{3 (1 + 2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 3 (2 x) - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 2 (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{3 + 6 x - 6 x + 4}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.7

Addiere $3$ und $4$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{6 x - 6 x + 7}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.8

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 7}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.4.5.9

Addiere $0$ und $7$ .

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{7 x}{3 x - 2}}{\frac{7}{3 x - 2}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{7}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x - 2$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$K (\frac{1 + 2 x}{3 x - 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $K^{- 1} (K (x)) = x$ und $K (K^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $K (x) = \frac{2 x + 1}{3 x - 2}$ .

$K^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{3 x - 2}$