Algebra Beispiele

$3 x - y^{2} = 4 x + 25$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - y^{2} - 4 x = 25$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$- y^{2} - x = 25$

Schritt 2

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 25 + y^{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- x = 25 + y^{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 25 + y^{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{25}{- 1} + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Dividiere $25$ durch $- 1$ .

$x = - 25 + \frac{y^{2}}{- 1}$

Schritt 3.3.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 25 - 1 \cdot y^{2}$

Schritt 3.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot y^{2}$ als $- y^{2}$ um.

$x = - 25 - y^{2}$

Schritt 4

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 4.1.1

Stelle $- 25$ und $- y^{2}$ um.

$x = - y^{2} - 25$

Schritt 4.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- y^{2} - 25$ an.

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 0$

$c = - 25$

Schritt 4.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 4.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot 0$ als $- 0$ um.

$d = - 0$

Schritt 4.1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$d = 0$

Schritt 4.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 25 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = - 25 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 25 - \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.1.2.4.2.1.3

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$e = - 25 - 0$

Schritt 4.1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = - 25 + 0$

Schritt 4.1.2.4.2.2

Addiere $- 25$ und $0$ .

$e = - 25$

Schritt 4.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(y + 0)}^{2} - 25$ ein.

$- {(y + 0)}^{2} - 25$

Schritt 4.1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - {(y + 0)}^{2} - 25$

Schritt 4.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = - 25$

$k = 0$

Schritt 4.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 4.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 25, 0)$

Schritt 4.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 4.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 4.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 4.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 4.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{101}{4}, 0)$

Schritt 4.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 0$

Schritt 4.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 4.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 4.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{99}{4}$

Schritt 4.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 25, 0)$

Brennpunkt: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - \frac{99}{4}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 25, 0)$

Brennpunkt: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - \frac{99}{4}$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $- 27$ in $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 27, 1.41421356)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 27$ .

$f (- 27) = \sqrt{- (- 27) - 25}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$f (- 27) = \sqrt{27 - 25}$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $25$ von $27$ .

$f (- 27) = \sqrt{2}$

Schritt 5.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 5.1.3

Konvertiere $\sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= 1.41421356$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $- 27$ in $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 27, - 1.41421356)$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{- (- 27) - 25}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{27 - 25}$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $25$ von $27$ .

$f (- 27) = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Schritt 5.2.3

Konvertiere $- \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 1.41421356$

Schritt 5.3

Setze den $x$ -Wert $- 26$ in $f (x) = \sqrt{- x - 25}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 26, 1)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 26$ .

$f (- 26) = \sqrt{- (- 26) - 25}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 26$ .

$f (- 26) = \sqrt{26 - 25}$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $25$ von $26$ .

$f (- 26) = \sqrt{1}$

Schritt 5.3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 26) = 1$

Schritt 5.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 5.3.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$= 1$

Schritt 5.4

Setze den $x$ -Wert $- 26$ in $f (x) = - \sqrt{- x - 25}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 26, - 1)$ .

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Schritt 5.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{- (- 26) - 25}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{26 - 25}$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $25$ von $26$ .

$f (- 26) = - \sqrt{1}$

Schritt 5.4.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 26) = - 1 \cdot 1$

Schritt 5.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 26) = - 1$

Schritt 5.4.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 5.4.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$= - 1$

Schritt 5.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Schritt 6

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(- 25, 0)$

Brennpunkt: $(- \frac{101}{4}, 0)$

Symmetrieachse: $y = 0$

Leitlinie: $x = - \frac{99}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 27 & 1.41 \\ - 27 & - 1.41 \\ - 26 & 1 \\ - 26 & - 1 \\ - 25 & 0 \end{array}$

Schritt 7