Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x - 3$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{x + 1}{x + 3}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.3

Setze $3$ für $x$ in $\frac{x + 1}{x + 3}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Setze $3$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{3 + 1}{3 + 3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4}{3 + 3}$

Schritt 5.3.2.2

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{4}{6}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2)}{6}$

Schritt 5.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3}$

Schritt 5.4

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(3, \frac{2}{3})$

Schritt 6