Algebra Beispiele

$x = - \frac{1}{2} y^{2} - 4 y - 7$

Schritt 1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 7$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = - 7$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Multipliziere $- 2 (- 1 \cdot 2)$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2 \cdot - 2$

Schritt 2.1.1.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$d = 4$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = - 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = - 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = - 7 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - 7 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - 7 - (4 (- 1 \cdot 2))$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Multipliziere $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

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Schritt 2.1.1.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 7 - (4 \cdot - 2)$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$e = - 7 - - 8$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$e = - 7 + 8$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $- 7$ und $8$ .

$e = 1$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$ ein.

$- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 1$

Schritt 2.1.2

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 4)}^{2} + 1$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{1}{2}, - 4)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 4$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(1, - 4)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = \frac{3}{2}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(1, - 4)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = \frac{3}{2}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, - 6)$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 (1 + 1)}$

Schritt 3.1.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{4}$

Schritt 3.1.2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 1) = - 4 - \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.1.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 1) = - 4 - 1 \cdot 2$

Schritt 3.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 4 - 2$

Schritt 3.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$f (- 1) = - 6$

Schritt 3.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 3.1.3

Konvertiere $- 6$ nach Dezimal.

$= - 6$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, - 2)$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (- (- 1) + 1)}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 (1 + 1)}$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{4}$

Schritt 3.2.2.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 1) = - 4 + \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.2.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 1) = - 4 + 2$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 4$ und $2$ .

$f (- 1) = - 2$

Schritt 3.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 3.2.3

Konvertiere $- 2$ nach Dezimal.

$= - 2$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = - 4 - \sqrt{2 (- x + 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, - 5.41421356)$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 (0 + 1)}$

Schritt 3.3.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (0) = - 4 - \sqrt{2}$

Schritt 3.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 - \sqrt{2}$ .

$y = - 4 - \sqrt{2}$

Schritt 3.3.3

Konvertiere $- 4 - \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 5.41421356$

Schritt 3.4

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = - 4 + \sqrt{2 (- x + 1)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, - 2.58578643)$ .

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Schritt 3.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (- (0) + 1)}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 (0 + 1)}$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (0) = - 4 + \sqrt{2}$

Schritt 3.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 + \sqrt{2}$ .

$y = - 4 + \sqrt{2}$

Schritt 3.4.3

Konvertiere $- 4 + \sqrt{2}$ nach Dezimal.

$= - 2.58578643$

Schritt 3.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(1, - 4)$

Brennpunkt: $(\frac{1}{2}, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = \frac{3}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5.41 \\ 0 & - 2.59 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Schritt 5