Algebra Beispiele

$\frac{x + 3}{x} \geq 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x + 3}{x} - 2 \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x + 3}{x} - 2$ .

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Schritt 2.1

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} \geq 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x} + \frac{- 2 x}{x} \geq 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 3 - 2 x}{x} \geq 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x + 3}{x} \geq 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 3}{x} \geq 0$

Schritt 2.6

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 3)}{x} \geq 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{- (x - 3)}{x} \geq 0$

Schritt 2.8

Schreibe $- (x - 3)$ als $- 1 (x - 3)$ um.

$\frac{- 1 (x - 3)}{x} \geq 0$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 3}{x} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 3$

Schritt 6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 3$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 3}{x}$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 3}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2) + 3}{- 2} \geq 2$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(2) + 3}{2} \geq 2$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $2.5$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(6) + 3}{6} \geq 2$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x \leq 3$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x \leq 3$

Intervallschreibweise:

$(0, 3]$

Schritt 12