Algebra Beispiele

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 16} + \frac{8 (x - 2)}{16 - x^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2}}{x^{2} - 4^{2}} + \frac{8 (x - 2)}{16 - x^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{16 - x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{4^{2} - x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = x$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(4 + x) (4 - x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (4 - x)}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4) - x)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4) - (x))}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 4) - (x)$ heraus.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4 + x))}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.5.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{8 (x - 2)}{(x + 4) (- 1 (- 4 + x))}$ zum Zähler.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{- (8 (x - 2))}{(x + 4) (- 4 + x)}$

Schritt 1.2.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2}}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{- (8 (x - 2))}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - (8 (x - 2))}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{x^{2} - 8 (x - 2)}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 8 x - 8 \cdot - 2}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.4.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 2.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 2.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - 4)}^{2}$ und $x - 4$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x - 4$ aus ${(x - 4)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $(x + 4) (x - 4)$ heraus.

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 4) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 4}{x + 4}$