Algebra Beispiele

$\frac{x - 2}{x + 3} \leq \frac{5}{3}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5}{3}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 2}{x + 3} - \frac{5}{3}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x - 2}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \leq 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{5}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x - 2}{x + 3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 3) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{x + 3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5}{3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} \leq 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{(x + 3) \cdot 3} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 3) \cdot 3$ um.

$\frac{(x - 2) \cdot 3}{3 (x + 3)} - \frac{5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 2) \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot 3 - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 \cdot x - 2 \cdot 3 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot x - 6 - 5 (x + 3)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 5 \cdot 3}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{3 x - 6 - 5 x - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $5 x$ von $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 6 - 15}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $15$ von $- 6$ .

$\frac{- 2 x - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x) - 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.7

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$\frac{- (2 x) - 1 (21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (21)$ heraus.

$\frac{- (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (2 x + 21)$ als $- 1 (2 x + 21)$ um.

$\frac{- 1 (2 x + 21)}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)} \leq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x + 21 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $21$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 21$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 21$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 21$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 21}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 21}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{21}{2}$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{21}{2}$

$x = - 3$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{21}{2}, - 3$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 21}{3 (x + 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (x + 3) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 3) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x + 3) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.1.2.1.2

Dividiere $x + 3$ durch $1$ .

$x + 3 = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{21}{2}$

$- \frac{21}{2} < x < - 3$

$x > - 3$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{21}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{21}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 13$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 13$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 13) - 2}{(- 13) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $1.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{21}{2} < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{21}{2} < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 7$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 7) - 2}{(- 7) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $2.25$ ist größer als die rechte Seite $1.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 2}{(0) + 3} \leq \frac{5}{3}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $1.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{21}{2}$ Wahr

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Falsch

$x > - 3$ Wahr

$x < - \frac{21}{2}$ Wahr

$- \frac{21}{2} < x < - 3$ Falsch

$x > - 3$ Wahr

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{21}{2}$ oder $x > - 3$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{21}{2} or x > - 3$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{21}{2}] \cup (- 3, \infty)$

Schritt 14