Algebra Beispiele

$y^{2} = x^{2} - 3$

Schritt 1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 3}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

Schritt 2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

Schritt 2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = \sqrt{x^{2} - 3}$

$y = - \sqrt{x^{2} - 3}$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 3 \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 3$

Schritt 4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Schreibe $| x | \geq \sqrt{3}$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{3} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{3} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 4.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq \sqrt{3}$ und $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{3}$

Schritt 4.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq \sqrt{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq \sqrt{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 4.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Schritt 4.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{3}$

Schritt 4.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$x \leq - \sqrt{3}$

Schritt 4.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - \sqrt{3}$ oder $x \geq \sqrt{3}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Schritt 6

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty), {x | x \leq - \sqrt{3}, x \geq \sqrt{3}}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 8