Algebra Beispiele

$\sqrt{z^{12}} = - z^{6}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{z^{12}}}^{2} = {(- z^{6})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{z^{12}}$ als $z^{\frac{12}{2}}$ neu zu schreiben.

${(z^{\frac{12}{2}})}^{2} = {(- z^{6})}^{2}$

Schritt 2.2

Dividiere $12$ durch $2$ .

${(z^{6})}^{2} = {(- z^{6})}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{6})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{6 \cdot 2} = {(- z^{6})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$z^{12} = {(- z^{6})}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache ${(- z^{6})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- z^{6}$ an.

$z^{12} = {(- 1)}^{2} {(z^{6})}^{2}$

Schritt 2.4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$z^{12} = 1 {(z^{6})}^{2}$

Schritt 2.4.1.3

Mutltipliziere ${(z^{6})}^{2}$ mit $1$ .

$z^{12} = {(z^{6})}^{2}$

Schritt 2.4.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{6})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{12} = z^{6 \cdot 2}$

Schritt 2.4.1.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$z^{12} = z^{12}$

Schritt 3

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.1

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| z | = | z |$

Schritt 3.2

Löse nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.1

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$z = z$

$z = - z$

$- z = z$

$- z = - z$

Schritt 3.2.2

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$z = z$

$z = - z$

Schritt 3.2.3

Löse $z = z$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1.1

Subtrahiere $z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z - z = 0$

Schritt 3.2.3.1.2

Subtrahiere $z$ von $z$ .

$0 = 0$

Schritt 3.2.3.2

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3.2.4

Löse $z = - z$ nach $z$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.4.1.1

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$z + z = 0$

Schritt 3.2.4.1.2

Addiere $z$ und $z$ .

$2 z = 0$

Schritt 3.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 z = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 z = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 z}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 z}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{0}{2}$

Schritt 3.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$z = 0$

Schritt 3.2.5

Liste alle Lösungen auf.

$z = 0$