Algebra Beispiele

$2 \sqrt{x - 8} < 24$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(2 \sqrt{x - 8})}^{2} < 24^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 8}$ als ${(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x - 8)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 24^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 24^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 8)}^{1} < 24^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (x - 8) < 24^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 4 \cdot - 8 < 24^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$4 x - 32 < 24^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$4 x - 32 < 576$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $32$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x < 576 + 32$

Schritt 3.1.2

Addiere $576$ und $32$ .

$4 x < 608$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 608$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 608$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{608}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{608}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $608$ durch $4$ .

$x < 152$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $2 \sqrt{x - 8} - 24$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 8}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 8 \geq 0$

Schritt 4.2

Addiere $8$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 8$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[8, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 8$

$8 < x < 152$

$x > 152$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 8$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 8$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{(0) - 8} < 24$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $8 < x < 152$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $8 < x < 152$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{(10) - 8} < 24$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $2.82842712$ ist kleiner als die rechte Seite $24$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 152$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 152$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 154$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $154$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{(154) - 8} < 24$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $24.16609194$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $24$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 8$ Falsch

$8 < x < 152$ Wahr

$x > 152$ Falsch

$x < 8$ Falsch

$8 < x < 152$ Wahr

$x > 152$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$8 < x < 152$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$8 < x < 152$

Intervallschreibweise:

$(8, 152)$

Schritt 9