Algebra Beispiele

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}} = 343$

Schritt 1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 343^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 343^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 343^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 343^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 343^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 5 x + 25)}^{1} = 343^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 5 x + 25 = 343^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $343^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe $343$ als $7^{3}$ um.

$x^{2} + 5 x + 25 = {(7^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 7^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 5 x + 25 = 7^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 5 x + 25 = 7^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 49$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 x + 25 - 49 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $49$ von $25$ .

$x^{2} + 5 x - 24 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $5$ ist.

$- 3, 8$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 8) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 8 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.6

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 8) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 8$