Algebra Beispiele

$\frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = \frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3} = \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)}$ um.

$\frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3} = \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{a}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{a}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{b}{x - 3} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{b}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{a}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{b}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 2) (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{a}{x + 2}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{a (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{b}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{b}{x - 3}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{a (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{b (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 3) (x + 2)$ um.

$\frac{a (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (x - 3) + b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x + a \cdot - 3 + b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a x - 3 \cdot a + b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x - 3 a + b x + b \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.6.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - (2 x + 1)}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - (2 x) - 1 \cdot 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - 2 x - 1 \cdot 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - 2 x - 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$a x - 3 a + b x + 2 b - 2 x - 1 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $b x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x - 3 a + 2 b - 2 x - 1 = - b x$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $2 b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x - 3 a - 2 x - 1 = - b x - 2 b$

Schritt 4.1.3

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a x - 3 a - 1 = - b x - 2 b + 2 x$

Schritt 4.1.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a x - 3 a = - b x - 2 b + 2 x + 1$

Schritt 4.2

Faktorisiere $a$ aus $a x - 3 a$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $a$ aus $a x$ heraus.

$a (x) - 3 a = - b x - 2 b + 2 x + 1$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $a$ aus $- 3 a$ heraus.

$a (x) + a \cdot - 3 = - b x - 2 b + 2 x + 1$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $a$ aus $a (x) + a \cdot - 3$ heraus.

$a (x - 3) = - b x - 2 b + 2 x + 1$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $a (x - 3) = - b x - 2 b + 2 x + 1$ durch $x - 3$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $a (x - 3) = - b x - 2 b + 2 x + 1$ durch $x - 3$ .

$\frac{a (x - 3)}{x - 3} = \frac{- b x}{x - 3} + \frac{- 2 b}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (x - 3)}{x - 3} = \frac{- b x}{x - 3} + \frac{- 2 b}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- b x}{x - 3} + \frac{- 2 b}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b x}{x - 3} + \frac{- 2 b}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b x}{x - 3} - \frac{2 b}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{- b x - 2 b}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.2.1

Faktorisiere $b$ aus $- b x - 2 b$ heraus.

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Schritt 4.3.3.2.1.1

Faktorisiere $b$ aus $- b x$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 x) - 2 b}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.2.1.2

Faktorisiere $b$ aus $- 2 b$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 x) + b \cdot - 2}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.2.1.3

Faktorisiere $b$ aus $b (- 1 x) + b \cdot - 2$ heraus.

$a = \frac{b (- 1 x - 2)}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.2.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$a = \frac{b (- x - 2)}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{b (- x - 2) + 2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{b (- x) + b \cdot - 2 + 2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- b x + b \cdot - 2 + 2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.4.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $b$ .

$a = \frac{- b x - 2 b + 2 x}{x - 3} + \frac{1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.3.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{- b x - 2 b + 2 x + 1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- b x$ heraus.

$a = \frac{- (b x) - 2 b + 2 x + 1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 b$ heraus.

$a = \frac{- (b x) - (2 b) + 2 x + 1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b x) - (2 b)$ heraus.

$a = \frac{- (b x + 2 b) + 2 x + 1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$a = \frac{- (b x + 2 b) - (- 2 x) + 1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b x + 2 b) - (- 2 x)$ heraus.

$a = \frac{- (b x + 2 b - 2 x) + 1}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.7

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$a = \frac{- (b x + 2 b - 2 x) - 1 (- 1)}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b x + 2 b - 2 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$a = \frac{- (b x + 2 b - 2 x - 1)}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.5.9.1

Schreibe $- (b x + 2 b - 2 x - 1)$ als $- 1 (b x + 2 b - 2 x - 1)$ um.

$a = \frac{- 1 (b x + 2 b - 2 x - 1)}{x - 3}$

Schritt 4.3.3.5.9.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b x + 2 b - 2 x - 1}{x - 3}$