Algebra Beispiele

$\sqrt{x + \sqrt{2 x}} = \sqrt{2 x}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x + \sqrt{2 x}}}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + \sqrt{2 x}}$ als ${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + \sqrt{2 x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + \sqrt{2 x})}^{1} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x + \sqrt{2 x} = {\sqrt{2 x}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ als $2 x$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + \sqrt{2 x} = {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x + \sqrt{2 x} = {(2 x)}^{1}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

$x + \sqrt{2 x} = 2 x$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{2 x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x} = 2 x - x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\sqrt{2 x} = x$

Schritt 4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x}}^{2} = x^{2}$

Schritt 5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x}$ als ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x)}^{1} = x^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache.

$2 x = x^{2}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$2 u - u^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $u$ aus $2 u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $u$ aus $2 u$ heraus.

$u \cdot 2 - u^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 2 + u (- u) = 0$

Schritt 6.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 2 + u (- u)$ heraus.

$u (2 - u) = 0$

Schritt 6.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (2 - x) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Schritt 6.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $2 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $2 - x$ gleich $0$ .

$2 - x = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $2 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 2$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x = 2$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (2 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$