Algebra Beispiele

$x y = x + y$

Schritt 1

Da $x = r \cos (θ)$ ist, ersetze $x$ durch $r \cos (θ)$ .

$(r \cos (θ)) \cdot y = (r \cos (θ)) + y$

Schritt 2

Da $y = r \sin (θ)$ ist, ersetze $y$ durch $r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ)) \cdot (r \sin (θ)) = r \cos (θ) + r \sin (θ)$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $r \cos (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(r \cos (θ)) \cdot (r \sin (θ)) - r \cos (θ) = r \sin (θ)$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $r \sin (θ)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(r \cos (θ)) \cdot (r \sin (θ)) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1

Bewege $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cdot \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cdot \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

$r^{2} \cos (θ) \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $r^{2} \cos (θ) \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ)$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2} \cos (θ) \sin (θ) - r \cos (θ) - r \sin (θ)$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2} \cos (θ) \sin (θ)$ heraus.

$r (r \cos (θ) \sin (θ)) - r \cos (θ) - r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $r$ aus $- r \cos (θ)$ heraus.

$r (r \cos (θ) \sin (θ)) + r (- 1 \cos (θ)) - r \sin (θ) = 0$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $r$ aus $- r \sin (θ)$ heraus.

$r (r \cos (θ) \sin (θ)) + r (- 1 \cos (θ)) + r (- 1 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $r$ aus $r (r \cos (θ) \sin (θ)) + r (- 1 \cos (θ))$ heraus.

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cos (θ)) + r (- 1 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $r$ aus $r (r \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cos (θ)) + r (- 1 \sin (θ))$ heraus.

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cos (θ) - 1 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.3.2

Schreibe $- 1 \cos (θ)$ als $- \cos (θ)$ um.

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - 1 \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 \sin (θ)$ als $- \sin (θ)$ um.

$r (r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) = 0$

Schritt 3.5

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 3.6

Setze $r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)$ gleich $0$ .

$r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ) = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $r$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.2.1.1

Addiere $\cos (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r \cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) = \cos (θ)$

Schritt 3.6.2.1.2

Addiere $\sin (θ)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r \cos (θ) \sin (θ) = \cos (θ) + \sin (θ)$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $r \cos (θ) \sin (θ) = \cos (θ) + \sin (θ)$ durch $\cos (θ) \sin (θ)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $r \cos (θ) \sin (θ) = \cos (θ) + \sin (θ)$ durch $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{r \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r \sin (θ)}{\sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r \sin (θ)}{\sin (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.2.2.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (θ)$ .

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Schritt 3.6.2.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$r = \csc (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 3.6.2.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \csc (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \csc (θ) + \frac{1}{\cos (θ)}$

Schritt 3.6.2.2.3.1.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (θ)}$ nach $\sec (θ)$ um.

$r = \csc (θ) + \sec (θ)$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r (r \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) - \sin (θ)) = 0$ wahr machen.

$r = 0$

$r = \csc (θ) + \sec (θ)$

$r = 0$

$r = \csc (θ) + \sec (θ)$