Algebra Beispiele

$x = \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + 11$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{2} + 2 y + 11$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 11$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = 2$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 11 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 11 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = 11 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 11 - \frac{4}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = 11 - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 11 - 2$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $11$ .

$e = 9$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 9$ ein.

$\frac{1}{2} {(y + 2)}^{2} + 9$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y + 2)}^{2} + 9$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = 9$

$k = - 2$

Schritt 3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(9, - 2)$

Schritt 5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{19}{2}, - 2)$

Schritt 7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 2$

Schritt 8