Algebra Beispiele

$\frac{3 + \sqrt{8}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{3 + \sqrt{4 (2)}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{8}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 2 (2 \sqrt{2})}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2 - 4 \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 + 4 \sqrt{2}}{2 + 4 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{(2 - 4 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{4 + 8 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})}{- 28}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + 4 \sqrt{2}$ und $- 28$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $(3 + 2 \sqrt{2}) (2 + 4 \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{- 28}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 (- 14)}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 14}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 5

Multipliziere $(3 + 2 \sqrt{2}) (1 + 2 \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (1 + 2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (1 + 2 \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 (2 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 1 + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}{- 14}$

Schritt 6.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 14}$

Schritt 6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 14}$

Schritt 6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 14}$

Schritt 6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{2}}^{2}}{- 14}$

Schritt 6.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 14}$

Schritt 6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 14}$

Schritt 6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

Schritt 6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 14}$

Schritt 6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2^{1}}{- 14}$

Schritt 6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 4 \cdot 2}{- 14}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{3 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 8}{- 14}$

Schritt 6.2

Addiere $3$ und $8$ .

$\frac{11 + 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{- 14}$

Schritt 6.3

Addiere $6 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{11 + 8 \sqrt{2}}{- 14}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{11 + 8 \sqrt{2}}{14}$

Dezimalform:

$- 1.59383632 \dots$