Algebra Beispiele

$(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Schritt 1

Multipliziere $(\sqrt{2} - i \sqrt{2}) (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$2 + \sqrt{2} (i \sqrt{2}) - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.5

Multipliziere $\sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

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Schritt 2.1.5.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 + {\sqrt{2}}^{1 + 1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + {\sqrt{2}}^{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 + 2^{\frac{2}{2}} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 2^{\frac{2}{2}} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 2^{1} i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$2 + 2 i - i \sqrt{2} \sqrt{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.7

Multipliziere $- i \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Schritt 2.1.7.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 + 2 i - i ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.7.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 + 2 i - i ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 + 2 i - i {\sqrt{2}}^{1 + 1} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + 2 i - i {\sqrt{2}}^{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + 2 i - i {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{2}{2}} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 2 i - i \cdot 2^{\frac{2}{2}} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 2 i - i \cdot 2^{1} - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$2 + 2 i - i \cdot 2 - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Schritt 2.1.10

Multipliziere $- i \sqrt{2} (i \sqrt{2})$ .

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Schritt 2.1.10.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - (i^{1} i) \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 2.1.10.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 2.1.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 2.1.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}$

Schritt 2.1.10.5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

Schritt 2.1.10.6

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

Schritt 2.1.10.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Schritt 2.1.10.8

Addiere $1$ und $1$ .

$2 + 2 i - 2 i - i^{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$2 + 2 i - 2 i - - 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 2.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 + 2 i - 2 i + 1 {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$2 + 2 i - 2 i + {\sqrt{2}}^{2}$

Schritt 2.1.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 + 2 i - 2 i + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 2.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 2.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 2 i - 2 i + 2^{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 2 i - 2 i + 2^{1}$

Schritt 2.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$2 + 2 i - 2 i + 2$

Schritt 2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$4 + 2 i - 2 i$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2 i$ von $2 i$ .

$4 + 0$

Schritt 2.4

Addiere $4$ und $0$ .

$4$