Algebra Beispiele

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ um.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{A}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{A}{x + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{B}{x + 2} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{B}{x + 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{A}{x + 1} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} + \frac{B}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 1) (x + 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{A}{x + 1}$ mit $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{A (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{B}{x + 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{B}{x + 2}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{A (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{B (x + 1)}{(x + 2) (x + 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x + 2) (x + 1)$ um.

$\frac{A (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} + \frac{B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{A (x + 2) + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{A x + A \cdot 2 + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $A$ .

$\frac{A x + 2 \cdot A + B (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{A x + 2 A + B x + B \cdot 1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$\frac{A x + 2 A + B x + B}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{A x + 2 A + B x + B - 1}{(x + 1) (x + 2)} = 0$

Schritt 3

Setze den Zähler gleich Null.

$A x + 2 A + B x + B - 1 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung nach $A$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $B x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A x + 2 A + B - 1 = - B x$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A x + 2 A - 1 = - B x - B$

Schritt 4.1.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A x + 2 A = - B x - B + 1$

Schritt 4.2

Faktorisiere $A$ aus $A x + 2 A$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $A$ aus $A x$ heraus.

$A (x) + 2 A = - B x - B + 1$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $A$ aus $2 A$ heraus.

$A (x) + A \cdot 2 = - B x - B + 1$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $A$ aus $A (x) + A \cdot 2$ heraus.

$A (x + 2) = - B x - B + 1$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $A (x + 2) = - B x - B + 1$ durch $x + 2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $A (x + 2) = - B x - B + 1$ durch $x + 2$ .

$\frac{A (x + 2)}{x + 2} = \frac{- B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{A (x + 2)}{x + 2} = \frac{- B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{B x}{x + 2} + \frac{- B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{B x}{x + 2} - \frac{B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- B x - B}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{- B x - B + 1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- B x$ heraus.

$A = \frac{- (B x) - B + 1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- B$ heraus.

$A = \frac{- (B x) - (B) + 1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (B x) - (B)$ heraus.

$A = \frac{- (B x + B) + 1}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.6

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$A = \frac{- (B x + B) - 1 (- 1)}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (B x + B) - 1 (- 1)$ heraus.

$A = \frac{- (B x + B - 1)}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.3.2.8.1

Schreibe $- (B x + B - 1)$ als $- 1 (B x + B - 1)$ um.

$A = \frac{- 1 (B x + B - 1)}{x + 2}$

Schritt 4.3.3.2.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A = - \frac{B x + B - 1}{x + 2}$