Algebra Beispiele

$2 x - 2 y = x^{2} + 9$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y = x^{2} + 9 - 2 x$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{- 2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{- 2 x}{- 2}$

Schritt 1.2.3.1.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + x$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Bewege $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$

Schritt 2.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{2} + x - \frac{9}{2}$ an.

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Schritt 2.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{9}{2}$

Schritt 2.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.2.3.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{2}}$

Schritt 2.1.2.3.2.3

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = - \frac{1}{1}$

Schritt 2.1.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.1.2.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{1}$

Schritt 2.1.2.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.1.2.3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 2.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 2.1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = - \frac{9}{2} - \frac{1}{- 2}$

Schritt 2.1.2.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{9}{2} - - \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{9}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 2.1.2.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$e = - \frac{9}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 9 + 1}{2}$

Schritt 2.1.2.4.2.3

Addiere $- 9$ und $1$ .

$e = \frac{- 8}{2}$

Schritt 2.1.2.4.2.4

Dividiere $- 8$ durch $2$ .

$e = - 4$

Schritt 2.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 2.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{2} - 4$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 1$

$k = - 4$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, - 4)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.5.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.5.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, - \frac{9}{2})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 1$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, - 4)$

Brennpunkt: $(1, - \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = - \frac{7}{2}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, - 4)$

Brennpunkt: $(1, - \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = - \frac{7}{2}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1.1

Entferne die Klammern.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{2} - 1 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = - 1 + \frac{- {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} - 9}{2}$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{1 + 2} - 9}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{{(- 1)}^{3} - 9}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 1 - 9}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $9$ von $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + \frac{- 10}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $- 10$ durch $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 5$

Schritt 3.2.3.3

Subtrahiere $5$ von $- 1$ .

$f (- 1) = - 6$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.1.1

Entferne die Klammern.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} + 0 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.5.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} - 9}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 - 9}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 9}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.3.1

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$f (0) = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (0) = - \frac{9}{2}$

Schritt 3.5.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1.1

Entferne die Klammern.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{2} + 3 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.8.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = 3 + \frac{- {(3)}^{2} - 9}{2}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 1 \cdot 9 - 9}{2}$

Schritt 3.8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 9 - 9}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.3.1

Subtrahiere $9$ von $- 9$ .

$f (3) = 3 + \frac{- 18}{2}$

Schritt 3.8.3.2

Dividiere $- 18$ durch $2$ .

$f (3) = 3 - 9$

Schritt 3.8.3.3

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$f (3) = - 6$

Schritt 3.8.4

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- 6$ .

$y = - 6$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.11.1.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 2 - \frac{9}{2}$

Schritt 3.11.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = 2 + \frac{- {(2)}^{2} - 9}{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 1 \cdot 4 - 9}{2}$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 4 - 9}{2}$

Schritt 3.11.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.3.1

Subtrahiere $9$ von $- 4$ .

$f (2) = 2 + \frac{- 13}{2}$

Schritt 3.11.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (2) = 2 - \frac{13}{2}$

Schritt 3.11.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{13}{2}$

Schritt 3.11.5

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{13}{2}$

Schritt 3.11.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2 - 13}{2}$

Schritt 3.11.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{4 - 13}{2}$

Schritt 3.11.7.2

Subtrahiere $13$ von $4$ .

$f (2) = \frac{- 9}{2}$

Schritt 3.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (2) = - \frac{9}{2}$

Schritt 3.11.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $- \frac{9}{2}$ .

$y = - \frac{9}{2}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(1, - 4)$

Brennpunkt: $(1, - \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = - \frac{7}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 6 \\ 0 & - \frac{9}{2} \\ 1 & - 4 \\ 2 & - \frac{9}{2} \\ 3 & - 6 \end{array}$

Schritt 5