Algebra Beispiele

$\frac{9 x^{2} + 4 y^{2} - 12 x y}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Schritt 1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1

Ordne Terme um.

$\frac{9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 12 x y + 4 y^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 12 x y + {(2 y)}^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Schritt 1.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x y = 2 \cdot (3 x) \cdot (2 y)$

Schritt 1.5

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot (2 y) + {(2 y)}^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Schritt 1.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 2 y$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{4 y^{2} - 9 x^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 y^{2}$ als ${(2 y)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{{(2 y)}^{2} - 9 x^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{{(2 y)}^{2} - {(3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 y$ und $b = 3 x$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - (3 x))}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{{(3 x - 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3 x - 2 y)}^{2}$ und $2 y - 3 x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{{(- (- 3 x) - 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{{(- (- 3 x) - (2 y))}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 x) - (2 y)$ heraus.

$\frac{{(- (- 3 x + 2 y))}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- (- 3 x + 2 y)$ als $- 1 (- 3 x + 2 y)$ um.

$\frac{{(- 1 (- 3 x + 2 y))}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3.1.5

Wende die Produktregel auf $- 1 (- 3 x + 2 y)$ an.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3.1.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 {(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere ${(- 3 x + 2 y)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (2 y - 3 x)}$

Schritt 3.1.8

Stelle die Terme um.

$\frac{{(- 3 x + 2 y)}^{2}}{(2 y + 3 x) (- 3 x + 2 y)}$

Schritt 3.1.9

Faktorisiere $- 3 x + 2 y$ aus ${(- 3 x + 2 y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(- 3 x + 2 y) (- 3 x + 2 y)}{(2 y + 3 x) (- 3 x + 2 y)}$

Schritt 3.1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.10.1

Faktorisiere $- 3 x + 2 y$ aus $(2 y + 3 x) (- 3 x + 2 y)$ heraus.

$\frac{(- 3 x + 2 y) (- 3 x + 2 y)}{(- 3 x + 2 y) (2 y + 3 x)}$

Schritt 3.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- 3 x + 2 y) (- 3 x + 2 y)}{(- 3 x + 2 y) (2 y + 3 x)}$

Schritt 3.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x + 2 y}{2 y + 3 x}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 2 y}{2 y + 3 x}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{- (3 x) - (- 2 y)}{2 y + 3 x}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - (- 2 y)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 2 y)}{2 y + 3 x}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Schreibe $- (3 x - 2 y)$ als $- 1 (3 x - 2 y)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 2 y)}{2 y + 3 x}$

Schritt 3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 2 y}{2 y + 3 x}$