Algebra Beispiele

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} > 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} - 1 \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{5 x - 4}{2 x + 1} + \frac{- (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 x - 4 - (2 x + 1)}{2 x + 1} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x - 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{2 x + 1} > 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{5 x - 4 - 2 x - 1}{2 x + 1} > 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $2 x$ von $5 x$ .

$\frac{3 x - 4 - 1}{2 x + 1} > 0$

Schritt 2.4.5

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{3 x - 5}{2 x + 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x - 5 = 0$

$2 x + 1 = 0$

Schritt 4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{5}{3}$

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{5}{3}, - \frac{1}{2}$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 5}{2 x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x + 1 = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$

$x > \frac{5}{3}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (- 3) - 4}{2 (- 3) + 1} > 1$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $3.8$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (0) - 4}{2 (0) + 1} > 1$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist nicht größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (4) - 4}{2 (4) + 1} > 1$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $1.\overline{7}$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Falsch

$x > \frac{5}{3}$ Wahr

$x < - \frac{1}{2}$ Wahr

$- \frac{1}{2} < x < \frac{5}{3}$ Falsch

$x > \frac{5}{3}$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{1}{2}$ oder $x > \frac{5}{3}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{1}{2} or x > \frac{5}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Schritt 15