Algebra Beispiele

$x^{9} - x^{5} + x^{4} - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{9} - x^{5}) + x^{4} - 1 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{5} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{4} - 1$ .

$(x^{4} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$({(x^{2})}^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.6.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 1.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{5} + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6

Setze $x^{5} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x^{5} + 1$ gleich $0$ .

$x^{5} + 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $x^{5} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{5} = - 1$

Schritt 6.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[5]{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache $\sqrt[5]{- 1}$ .

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Schritt 6.2.3.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{{(- 1)}^{5}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = - 1$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{5} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, - 1, 1$