Algebra Beispiele

$x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 1 + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 1^{2} + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x^{3} - 2 x$

Schritt 6

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 2 x$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) - 2 x$

Schritt 6.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 1)$ heraus.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1)$

Schritt 7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x^{2} - 1^{2})$

Schritt 8

Faktorisiere.

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Schritt 8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x ((x + 1) (x - 1))$

Schritt 8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Schritt 9

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + 2 x (x + 1) (x - 1)$

Schritt 9.2

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $2 x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$

Schritt 9.3

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus $(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x)$ heraus.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1 + 2 x)$

Schritt 10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 10.1

Ordne Terme um.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 10.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2})$

Schritt 10.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 10.4

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})$

Schritt 10.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 11

Multipliziere $x + 1$ mit ${(x + 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1

Bewege ${(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $x + 1$ .

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Schritt 11.2.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1} (x - 1)$

Schritt 11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 1)}^{2 + 1} (x - 1)$

Schritt 11.3

Addiere $2$ und $1$ .

${(x + 1)}^{3} (x - 1)$