Algebra Beispiele

$x = 5 + \sqrt{2 x - 10}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$5 + \sqrt{2 x - 10} = x$

Schritt 2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{2 x - 10} = x - 5$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{2 x - 10}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x - 10}$ als ${(2 x - 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(2 x - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(2 x - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 x - 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 x - 10)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$2 x - 10 = {(x - 5)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(x - 5)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$2 x - 10 = (x - 5) (x - 5)$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 10 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 10 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Schritt 4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 10 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x - 10 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Schritt 4.3.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x - 10 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Schritt 4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$2 x - 10 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Schritt 4.3.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$2 x - 10 = x^{2} - 10 x + 25$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} - 10 x + 25 = 2 x - 10$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 10 x + 25 - 2 x = - 10$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 10 x$ .

$x^{2} - 12 x + 25 = - 10$

Schritt 5.3

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 12 x + 25 + 10 = 0$

Schritt 5.4

Addiere $25$ und $10$ .

$x^{2} - 12 x + 35 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x^{2} - 12 x + 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $35$ und deren Summe $- 12$ ist.

$- 7, - 5$

Schritt 5.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 7) (x - 5) = 0$

Schritt 5.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 5.7

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 5.7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5.8

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 5.8.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 5$