Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x y}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x y$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 3 x y}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x y$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x (- 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 3 y)$ heraus.

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y}$

Schritt 2

Um $\frac{y}{x - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + y) (x - y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x - y}$ mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y (x + y)}{(x - y) (x + y)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x - y) (x + y)$ um.

$\frac{x (x - 3 y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (x - 3 y) + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x (- 3 y) + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x (- 3 y) + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - 3 x y + y (x + y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 3 x y + y x + y \cdot y}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x^{2} - 3 x y + y x + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.6

Addiere $- 3 x y$ und $y x$ .

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Schritt 5.6.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{x^{2} - 3 x y + x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.6.2

Addiere $- 3 x y$ und $x y$ .

$\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.7.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 5.7.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x - y)}^{2}$ und $x - y$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x - y$ aus ${(x - y)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x - y$ aus $(x + y) (x - y)$ heraus.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x + y)}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - y) (x - y)}{(x - y) (x + y)}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - y}{x + y}$