Algebra Beispiele

$(\frac{a}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} + \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = b$ .

$(\frac{a}{a - b} - \frac{a - b}{a + b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 2

Um $\frac{a}{a - b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{a}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{a - b}{a + b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 3

Um $- \frac{a - b}{a + b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - b}{a - b}$ .

$(\frac{a}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a - b) (a + b)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a}{a - b}$ mit $\frac{a + b}{a + b}$ .

$(\frac{a (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{a - b}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a - b} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{a - b}{a + b}$ mit $\frac{a - b}{a - b}$ .

$(\frac{a (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(a - b) (a + b)$ um.

$(\frac{a (a + b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{(a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(\frac{a (a + b) - (a - b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} + \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}) \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (a + b) - (a - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a b - (a - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a b - (a - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a b + (- a - - b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.4

Multipliziere $- - b$ .

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} + a b + (- a + 1 b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} + a b + (- a + b) (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.5

Multipliziere $(- a + b) (a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a b - a (a - b) + b (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a b - a \cdot a - a (- b) + b (a - b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + a b - a \cdot a - a (- b) + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1.1

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1.1

Bewege $a$ .

$\frac{a^{2} + a b - (a \cdot a) - a (- b) + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} - a (- b) + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + 1 a b + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.1.4

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a + b (- b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a - b \cdot b + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.1.6

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.6.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a - (b \cdot b) + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.1.6.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + b a - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

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Schritt 6.6.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + a b + a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 6.6.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$\frac{a^{2} + a b - a^{2} + 2 a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a^{2} + a b - a^{2} + 2 a b - b^{2} + b^{2}$ .

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Schritt 7.1.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{a b + 0 + 2 a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 7.1.2

Addiere $a b$ und $0$ .

$\frac{a b + 2 a b - b^{2} + b^{2}}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 7.1.3

Addiere $- b^{2}$ und $b^{2}$ .

$\frac{a b + 2 a b + 0}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 7.1.4

Addiere $a b + 2 a b$ und $0$ .

$\frac{a b + 2 a b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 7.2

Addiere $a b$ und $2 a b$ .

$\frac{3 a b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 a b$ .

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a b}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a - b}{3 a b}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{(a + b) (a - b)} \cdot (a - b)$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - b$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $a - b$ aus $(a + b) (a - b)$ heraus.

$\frac{1}{(a - b) (a + b)} \cdot (a - b)$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(a - b) (a + b)} \cdot (a - b)$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a + b}$