Algebra Beispiele

$24 e^{2 x} - 6 = 10 e^{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $10 e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$24 e^{2 x} - 6 - 10 e^{x} = 0$

Schritt 2

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

$24 {(e^{x})}^{2} - 6 - 10 e^{x} = 0$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$24 u^{2} - 6 - 10 u = 0$

Schritt 4

Bewege $- 6$ .

$24 u^{2} - 10 u - 6 = 0$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24 u^{2} - 10 u - 6$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $24 u^{2}$ heraus.

$2 (12 u^{2}) - 10 u - 6 = 0$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10 u$ heraus.

$2 (12 u^{2}) + 2 (- 5 u) - 6 = 0$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 (12 u^{2}) + 2 (- 5 u) + 2 (- 3) = 0$

Schritt 5.1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (12 u^{2}) + 2 (- 5 u)$ heraus.

$2 (12 u^{2} - 5 u) + 2 (- 3) = 0$

Schritt 5.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (12 u^{2} - 5 u) + 2 (- 3)$ heraus.

$2 (12 u^{2} - 5 u - 3) = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot - 3 = - 36$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 u$ heraus.

$2 (12 u^{2} - 5 u - 3) = 0$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $4$ plus $- 9$

$2 (12 u^{2} + (4 - 9) u - 3) = 0$

Schritt 5.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (12 u^{2} + 4 u - 9 u - 3) = 0$

Schritt 5.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 ((12 u^{2} + 4 u) - 9 u - 3) = 0$

Schritt 5.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 (4 u (3 u + 1) - 3 (3 u + 1)) = 0$

Schritt 5.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$2 ((3 u + 1) (4 u - 3)) = 0$

Schritt 5.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (3 u + 1) (4 u - 3) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 u + 1 = 0$

$4 u - 3 = 0$

Schritt 5.3

Setze $3 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $3 u + 1$ gleich $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Schritt 5.3.2

Löse $3 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = - 1$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{3}$

Schritt 5.4

Setze $4 u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $4 u - 3$ gleich $0$ .

$4 u - 3 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $4 u - 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = 3$

Schritt 5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = 3$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{3}{4}$

Schritt 5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{3}{4}$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (3 u + 1) (4 u - 3) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{3}, \frac{3}{4}$

Schritt 6

Setze $- \frac{1}{3}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- \frac{1}{3} = e^{x}$

Schritt 7

Löse $- \frac{1}{3} = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - \frac{1}{3}$ um.

$e^{x} = - \frac{1}{3}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{3})$

Schritt 7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- \frac{1}{3})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - \frac{1}{3}$

Keine Lösung

Schritt 8

Setze $\frac{3}{4}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{3}{4} = e^{x}$

Schritt 9

Löse $\frac{3}{4} = e^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{3}{4}$ um.

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 9.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 9.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 9.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Dezimalform:

$x = - 0.28768207 \dots$