Algebra Beispiele

$\sqrt[4]{81 {(x^{4} - 16)}^{4}}$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Schritt 1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 4$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Schritt 4

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ an.

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 5

Multipliziere $(x^{2} + 4) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 6.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\sqrt[4]{81 {((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 9

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x^{2} + 4)$ an.

$\sqrt[4]{81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Schritt 10

Schreibe $81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ als ${(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}$ um.

$\sqrt[4]{{(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}}$

Schritt 11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Schritt 12

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 3 \cdot 2) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(3 x + 6) (x^{2} + 4) (x - 2)$

Schritt 13

Multipliziere $(3 x + 6) (x^{2} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x (x^{2} + 4) + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2)$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2)$

Schritt 13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Schritt 14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(3 (x^{2} x) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 14.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(3 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Schritt 14.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 x^{2 + 1} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Schritt 14.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(3 x^{3} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2)$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2)$

Schritt 15

Multipliziere $(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$3 x^{3} x + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16

Vereinfache Terme.

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1.1.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 16.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (x^{1} x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{1 + 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$3 x^{4} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1.3.1

Bewege $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1.5.1

Bewege $x$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 16.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 16.1.7

Mutltipliziere $24$ mit $- 2$ .

$3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Schritt 16.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48$ .

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Schritt 16.2.1

Addiere $- 6 x^{3}$ und $6 x^{3}$ .

$3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x + 0 - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Schritt 16.2.2

Addiere $3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x$ und $0$ .

$3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x - 12 x^{2} + 24 x - 48$

Schritt 16.2.3

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $12 x^{2}$ .

$3 x^{4} - 24 x + 0 + 24 x - 48$

Schritt 16.2.4

Addiere $3 x^{4} - 24 x$ und $0$ .

$3 x^{4} - 24 x + 24 x - 48$

Schritt 16.2.5

Addiere $- 24 x$ und $24 x$ .

$3 x^{4} + 0 - 48$

Schritt 16.2.6

Addiere $3 x^{4}$ und $0$ .

$3 x^{4} - 48$