Algebra Beispiele

$\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ .

$\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)} \cdot \frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$

Schritt 2

Um $\frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ .

$\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)} \cdot \frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)} \cdot \frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (A) + \cos (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ mit $\frac{\cos (A) - \cos (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ .

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))}{(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))} + \frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)} \cdot \frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (A) + \sin (B)}{\cos (A) - \cos (B)}$ mit $\frac{\sin (A) - \sin (B)}{\sin (A) - \sin (B)}$ .

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))}{(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))} + \frac{(\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(\sin (A) - \sin (B)) (\cos (A) - \cos (B))$ um.

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))} + \frac{(\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(\cos (A) + \cos (B)) (\cos (A) - \cos (B))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (A) (\cos (A) - \cos (B)) + \cos (B) (\cos (A) - \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \cos (A) (- \cos (B)) + \cos (B) (\cos (A) - \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \cos (A) (- \cos (B)) + \cos (B) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) (- \cos (B)) + \cos (B) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B))$ .

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Schritt 5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (A) (- \cos (B))$ und $\cos (B) \cos (A)$ neu an.

$\frac{\cos (A) \cos (A) - \cos (A) \cos (B) + \cos (A) \cos (B) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.2.2

Addiere $- \cos (A) \cos (B)$ und $\cos (A) \cos (B)$ .

$\frac{\cos (A) \cos (A) + 0 + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.2.3

Addiere $\cos (A) \cos (A)$ und $0$ .

$\frac{\cos (A) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere $\cos (A) \cos (A)$ .

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Schritt 5.3.1.1

Potenziere $\cos (A)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.1.2

Potenziere $\cos (A)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (A)}^{1 + 1} + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) + \cos (B) (- \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos (B) \cos (B) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere $- \cos (B) \cos (B)$ .

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $\cos (B)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\cos^{1} (B) \cos (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $\cos (B)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - (\cos^{1} (B) \cos^{1} (B)) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (A) - {\cos (B)}^{1 + 1} + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + (\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.4

Multipliziere $(\sin (A) + \sin (B)) (\sin (A) - \sin (B))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) (\sin (A) - \sin (B)) + \sin (B) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + \sin (A) (- \sin (B)) + \sin (B) (\sin (A) - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + \sin (A) (- \sin (B)) + \sin (B) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (A) \sin (A) + \sin (A) (- \sin (B)) + \sin (B) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))$ .

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Schritt 5.5.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\sin (A) (- \sin (B))$ und $\sin (B) \sin (A)$ neu an.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) - \sin (A) \sin (B) + \sin (A) \sin (B) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.5.2

Addiere $- \sin (A) \sin (B)$ und $\sin (A) \sin (B)$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + 0 + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.5.3

Addiere $\sin (A) \sin (A)$ und $0$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin (A) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Multipliziere $\sin (A) \sin (A)$ .

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $\sin (A)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{1} (A) \sin (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.1.2

Potenziere $\sin (A)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{1} (A) \sin^{1} (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + {\sin (A)}^{1 + 1} + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) + \sin (B) (- \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - \sin (B) \sin (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.3

Multipliziere $- \sin (B) \sin (B)$ .

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Schritt 5.6.3.1

Potenziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - (\sin^{1} (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.3.2

Potenziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - (\sin^{1} (B) \sin^{1} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - {\sin (B)}^{1 + 1}}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7

Schreibe $\cos^{2} (A) - \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) - \sin^{2} (B)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.7.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{- \cos^{2} (B) + \cos^{2} (A) + \sin^{2} (A) - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.2

Ordne Terme um.

$\frac{- \cos^{2} (B) + \sin^{2} (A) + \cos^{2} (A) - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \cos^{2} (B) + 1 - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.4

Schreibe $1 - \sin^{2} (B)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.7.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{- \cos^{2} (B) + 1^{2} - \sin^{2} (B)}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (B)$ .

$\frac{- \cos^{2} (B) + (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (B) + (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))$ heraus.

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Schritt 5.7.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos^{2} (B)$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (B)) + (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (B)) - ((- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\cos^{2} (B)) - ((- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B)))$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (B) + (- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.6

Multipliziere $(- 1 - \sin (B)) (1 - \sin (B))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.7.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1 - \sin (B)) - \sin (B) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (B)) - \sin (B) (1 - \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (B)) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.7.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 - 1 (- \sin (B)) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.2

Multipliziere $- 1 (- \sin (B))$ .

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Schritt 5.7.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + 1 \sin (B) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.2.2

Mutltipliziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) \cdot 1 - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) - \sin (B) (- \sin (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.4

Multipliziere $- \sin (B) (- \sin (B))$ .

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Schritt 5.7.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + 1 \sin (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.4.2

Mutltipliziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.4.3

Potenziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin^{1} (B) \sin (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.4.4

Potenziere $\sin (B)$ mit $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin^{1} (B) \sin^{1} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + {\sin (B)}^{1 + 1})}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin (B) - \sin (B) + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.2

Subtrahiere $\sin (B)$ von $\sin (B)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + 0 + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.7.3

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1) + \sin^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin^{2} (B)$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (B))$ heraus.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - 1 (1 - \sin^{2} (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.11

Schreibe $- 1 (1 - \sin^{2} (B))$ als $- (1 - \sin^{2} (B))$ um.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - (1 - \sin^{2} (B)))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.12

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- (\cos^{2} (B) - \cos^{2} (B))}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 5.7.13

Subtrahiere $\cos^{2} (B)$ von $\cos^{2} (B)$ .

$\frac{- 0}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 6

Multipliziere mit null.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))}$

Schritt 6.2

Dividiere $0$ durch $(\cos (A) - \cos (B)) (\sin (A) - \sin (B))$ .

$0$