Algebra Beispiele

$2.25 y^{2} - 3 y + 1 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2.25 y^{2} - 3 y + 1 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $0.25$ aus $2.25 y^{2} - 3 y + 1$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $0.25$ aus $2.25 y^{2}$ heraus.

$0.25 (9 y^{2}) - 3 y + 1 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $0.25$ aus $- 3 y$ heraus.

$0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y) + 1 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $0.25$ aus $1$ heraus.

$0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y) + 0.25 (4) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 (9 y^{2}) + 0.25 (- 12 y)$ heraus.

$0.25 (9 y^{2} - 12 y) + 0.25 (4) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $0.25$ aus $0.25 (9 y^{2} - 12 y) + 0.25 (4)$ heraus.

$0.25 (9 y^{2} - 12 y + 4) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 12 y + 4) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 12 y + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 y = 2 \cdot (3 y) \cdot 2$

Schritt 2.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$0.25 ({(3 y)}^{2} - 2 \cdot (3 y) \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 y$ und $b = 2$ .

$0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$ durch $0.25$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $0.25 {(3 y - 2)}^{2} = 0$ durch $0.25$ .

$\frac{0.25 {(3 y - 2)}^{2}}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.25$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.25 {(3 y - 2)}^{2}}{0.25} = \frac{0}{0.25}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere ${(3 y - 2)}^{2}$ durch $1$ .

${(3 y - 2)}^{2} = \frac{0}{0.25}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $0.25$ .

${(3 y - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4

Setze $3 y - 2$ gleich $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 2$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < \frac{2}{3}$

$y > \frac{2}{3}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $y < \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 0$

Schritt 7.1.2

Ersetze $y$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2.25 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1 < 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $1$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $y > \frac{2}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > \frac{2}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 3$

Schritt 7.2.2

Ersetze $y$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2.25 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1 < 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $12.25$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < \frac{2}{3}$ Falsch

$y > \frac{2}{3}$ Falsch

$y < \frac{2}{3}$ Falsch

$y > \frac{2}{3}$ Falsch

Schritt 8

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung