Algebra Beispiele

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < | 10 - x^{2} |$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < | 10 - x^{2} |$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$10 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 10$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Schritt 1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.2.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{10}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{10}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.2.7

Löse $- x \leq \sqrt{10}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Schritt 1.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{10}$ als $- \sqrt{10}$ um.

$x \geq - \sqrt{10}$

Schritt 1.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{10}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $10 - x^{2}$ nicht negativ ist.

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$

Schritt 1.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ und ermittle die Schnittmenge mit $- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$ .

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Schritt 1.4.1

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{10 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$10 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.4.1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 10$

Schritt 1.4.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.1.2.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Schritt 1.4.1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.2.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{10}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.4.1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.4.1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{10}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.2.7

Löse $- x \leq \sqrt{10}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.4.1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.1.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.4.1.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{10}$ als $- \sqrt{10}$ um.

$x \geq - \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{10}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Schritt 1.4.1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.4.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Schritt 1.4.2

Bestimme die Schnittmenge von $- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$ und $[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$ .

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.5

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$10 - x^{2} < 0$

Schritt 1.6

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 10$

Schritt 1.6.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.6.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 10$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.6.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 10$

Schritt 1.6.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{10}$

Schritt 1.6.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{10}$

Schritt 1.6.5

Schreibe $| x | > \sqrt{10}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.6.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.6.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > \sqrt{10}$

Schritt 1.6.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.6.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > \sqrt{10}$

Schritt 1.6.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.6.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > \sqrt{10}$ und $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{10}$

Schritt 1.6.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > \sqrt{10}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.6.7.1

Teile jeden Term in $- x > \sqrt{10}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.6.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.6.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.6.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.7.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{10}$

Schritt 1.6.7.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{10}$ als $- \sqrt{10}$ um.

$x < - \sqrt{10}$

Schritt 1.6.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - \sqrt{10}$ oder $x > \sqrt{10}$

Schritt 1.7

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $10 - x^{2}$ negativ ist.

$\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$

Schritt 1.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$ und ermittle die Schnittmenge mit $x < - \sqrt{10} or x > \sqrt{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < - (10 - x^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{10 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$10 - x^{2} \geq 0$

Schritt 1.8.1.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 10$

Schritt 1.8.1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.8.1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.8.1.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 1.8.1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.8.1.2.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Schritt 1.8.1.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.8.1.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.2.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{10}$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.8.1.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 1.8.1.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{10}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.2.7

Löse $- x \leq \sqrt{10}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 1.8.1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.8.1.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.8.1.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.8.1.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.8.1.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 1.8.1.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{10}$ als $- \sqrt{10}$ um.

$x \geq - \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{10}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Schritt 1.8.1.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 1.8.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Schritt 1.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < - \sqrt{10} or x > \sqrt{10}$ und $[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$ .

$Keine Lösung$

Schritt 1.9

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2} & - \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\sqrt{10 - x^{2}} + 6 < 10 - x^{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $\sqrt{10 - x^{2}}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\sqrt{10 - x^{2}} < 10 - x^{2} - 6$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $6$ von $10$ .

$\sqrt{10 - x^{2}} < - x^{2} + 4$

Schritt 2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 - x^{2}}$ als ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Vereinfache.

$10 - x^{2} < {(- x^{2} + 4)}^{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Schreibe ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ als $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ um.

$10 - x^{2} < (- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$

Schritt 2.3.3.1.2

Multipliziere $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 - x^{2} < - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$10 - x^{2} < - 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$10 - x^{2} < 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4$

Schritt 2.3.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Schritt 2.3.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$10 - x^{2} < x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Schritt 2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 > 10 - x^{2}$

Schritt 2.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.4.2.1

Addiere $x^{2}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + x^{2} > 10$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $- 8 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} - 7 x^{2} + 16 > 10$

Schritt 2.4.3

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 7 u + 16 = 10$

$u = x^{2}$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 7 u + 16 - 10 = 0$

Schritt 2.4.5

Subtrahiere $10$ von $16$ .

$u^{2} - 7 u + 6 = 0$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere $u^{2} - 7 u + 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.4.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $6$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 6, - 1$

Schritt 2.4.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 6) (u - 1) = 0$

Schritt 2.4.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 6 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 2.4.8

Setze $u - 6$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.8.1

Setze $u - 6$ gleich $0$ .

$u - 6 = 0$

Schritt 2.4.8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 6$

Schritt 2.4.9

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.4.9.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 2.4.9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 2.4.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 6) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 6, 1$

Schritt 2.4.11

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 6$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 2.4.12

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 6$

Schritt 2.4.13

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.13.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{6}$

Schritt 2.4.13.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.13.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{6}$

Schritt 2.4.13.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{6}$

Schritt 2.4.13.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Schritt 2.4.14

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 2.4.15

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.15.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1$

Schritt 2.4.15.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 2.4.15.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 2.4.15.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.15.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 2.4.15.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 2.4.15.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 2.4.16

Die Lösung von $x^{4} - 7 x^{2} + 16 = 10$ ist $x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$ .

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}, 1, - 1$

Schritt 2.5

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{10 - x^{2}} - 4 + x^{2}$ .

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Schritt 2.5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{10 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$10 - x^{2} \geq 0$

Schritt 2.5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 10$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 10$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Schritt 2.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Schritt 2.5.2.5

Schreibe $| x | \leq \sqrt{10}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.5.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{10}$

Schritt 2.5.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.5.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{10}$

Schritt 2.5.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.5.2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \sqrt{10}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 2.5.2.7

Löse $- x \leq \sqrt{10}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.5.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \sqrt{10}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 2.5.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 2.5.2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 2.5.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Schritt 2.5.2.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{10}$ als $- \sqrt{10}$ um.

$x \geq - \sqrt{10}$

Schritt 2.5.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \sqrt{10}$ und $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Schritt 2.5.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 2.5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Schritt 2.6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$

$- \sqrt{6} < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{6}$

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Schritt 2.7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{10 - {(- 6)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 6)}^{2}$

Schritt 2.7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{10 - {(- 3)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 3)}^{2}$

Schritt 2.7.2.3

Die linke Seite $7$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.3

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{6} < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{6} < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.7.3.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{10 - {(- 2)}^{2}} + 6 < 10 - {(- 2)}^{2}$

Schritt 2.7.3.3

Die linke Seite $8.44948974$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.4

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.7.4.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{10 - {(0)}^{2}} + 6 < 10 - {(0)}^{2}$

Schritt 2.7.4.3

Die linke Seite $9.16227766$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.7.5

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.7.5.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{10 - {(2)}^{2}} + 6 < 10 - {(2)}^{2}$

Schritt 2.7.5.3

Die linke Seite $8.44948974$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.6

Teste einen Wert im Intervall $\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.6.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.7.6.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{10 - {(3)}^{2}} + 6 < 10 - {(3)}^{2}$

Schritt 2.7.6.3

Die linke Seite $7$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.7

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.7.7.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.7.7.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{10 - {(6)}^{2}} + 6 < 10 - {(6)}^{2}$

Schritt 2.7.7.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.7.8

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{10}$ Falsch

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ Falsch

$- \sqrt{6} < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < \sqrt{6}$ Falsch

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ Falsch

$x > \sqrt{10}$ Falsch

$x < - \sqrt{10}$ Falsch

$- \sqrt{10} < x < - \sqrt{6}$ Falsch

$- \sqrt{6} < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < \sqrt{6}$ Falsch

$\sqrt{6} < x < \sqrt{10}$ Falsch

$x > \sqrt{10}$ Falsch

Schritt 2.8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < 1$

Schritt 3

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 < x < 1$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 1 < x < 1$

Intervallschreibweise:

$(- 1, 1)$

Schritt 5