Algebra Beispiele

${(2 a - b)}^{2} \div \frac{4 a^{3} - a b^{2}}{3}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

${(2 a - b)}^{2} \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 2

Schreibe ${(2 a - b)}^{2}$ als $(2 a - b) (2 a - b)$ um.

$(2 a - b) (2 a - b) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $(2 a - b) (2 a - b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 a (2 a - b) - b (2 a - b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 a (2 a) + 2 a (- b) - b (2 a - b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 a (2 a) + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 \cdot 2 a \cdot a + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1

Bewege $a$ .

$(2 \cdot 2 (a \cdot a) + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$(2 \cdot 2 a^{2} + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 a^{2} + 2 a (- b) - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 a^{2} + 2 \cdot - 1 a b - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - b (2 a) - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 a^{2} - 2 a b - 1 \cdot 2 b a - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - b (- b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.9

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.9.1

Bewege $b$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b)) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.9.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a - 1 \cdot - 1 b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a + 1 b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.1.11

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 b a + b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2 b a$ von $- 2 a b$ .

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Schritt 4.2.1

Bewege $b$ .

$(4 a^{2} - 2 a b - 2 a b + b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 a b$ von $- 2 a b$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{4 a^{3} - a b^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a$ aus $4 a^{3} - a b^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $a$ aus $4 a^{3}$ heraus.

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (4 a^{2}) - a b^{2}}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- a b^{2}$ heraus.

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (4 a^{2}) + a (- 1 b^{2})}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a (4 a^{2}) + a (- 1 b^{2})$ heraus.

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (4 a^{2} - 1 b^{2})}$

Schritt 5.2

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a ({(2 a)}^{2} - 1 b^{2})}$

Schritt 5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a$ und $b = b$ .

$(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \frac{3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$ mit $\frac{3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$ .

$\frac{(4 a^{2} - 4 a b + b^{2}) \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Schritt 7

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 7.1

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$\frac{({(2 a)}^{2} - 4 a b + b^{2}) \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Schritt 7.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 a b = 2 \cdot (2 a) \cdot b$

Schritt 7.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{({(2 a)}^{2} - 2 \cdot (2 a) \cdot b + b^{2}) \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Schritt 7.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 2 a$ und $b = b$ .

$\frac{{(2 a - b)}^{2} \cdot 3}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(2 a - b)}^{2}$ und $2 a - b$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2 a - b$ aus ${(2 a - b)}^{2} \cdot 3$ heraus.

$\frac{(2 a - b) ((2 a - b) \cdot 3)}{a (2 a + b) (2 a - b)}$

Schritt 8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $2 a - b$ aus $a (2 a + b) (2 a - b)$ heraus.

$\frac{(2 a - b) ((2 a - b) \cdot 3)}{(2 a - b) (a (2 a + b))}$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 a - b) ((2 a - b) \cdot 3)}{(2 a - b) (a (2 a + b))}$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 a - b) \cdot 3}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 a - b$ .

$\frac{3 (2 a - b)}{a (2 a + b)}$