Algebra Beispiele

$\frac{a (1 + \sqrt{x})}{x - 1} = b$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x - 1$ .

$\frac{a (1 + \sqrt{x})}{x - 1} (x - 1) = b (x - 1)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $\frac{a (1 + \sqrt{x})}{x - 1} (x - 1)$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (1 + \sqrt{x})}{x - 1} (x - 1) = b (x - 1)$

Schritt 2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a (1 + \sqrt{x}) = b (x - 1)$

Schritt 2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot 1 + a \sqrt{x} = b (x - 1)$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a + a \sqrt{x} = b (x - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $b (x - 1)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a + a \sqrt{x} = b x + b \cdot - 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$a + a \sqrt{x} = b x - 1 \cdot b$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$a + a \sqrt{x} = b x - b$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a \sqrt{x} = b x - b - a$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(a \sqrt{x})}^{2} = {(b x - b - a)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(a x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(b x - b - a)}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(a x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $a x^{\frac{1}{2}}$ an.

$a^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(b x - b - a)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(b x - b - a)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(b x - b - a)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$a^{2} x^{1} = {(b x - b - a)}^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache.

$a^{2} x = {(b x - b - a)}^{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache ${(b x - b - a)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Schreibe ${(b x - b - a)}^{2}$ als $(b x - b - a) (b x - b - a)$ um.

$a^{2} x = (b x - b - a) (b x - b - a)$

Schritt 3.3.3.1.2

Multipliziere $(b x - b - a) (b x - b - a)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$a^{2} x = b x (b x) + b x (- b) + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.1

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.1.1

Bewege $b$ .

$a^{2} x = b \cdot b x \cdot x + b x (- b) + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x \cdot x + b x (- b) + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$a^{2} x = b^{2} (x \cdot x) + b x (- b) + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} + b x (- b) + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b x b + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.4.1

Bewege $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - (b \cdot b) x + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x + b x (- a) - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b (b x) - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.6

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.6.1

Bewege $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - (b \cdot b) x - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x - b (- b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x - 1 \cdot - 1 b \cdot b - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.8

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.8.1

Bewege $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.8.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x - 1 \cdot - 1 b^{2} - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + 1 b^{2} - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.10

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} - b (- a) - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} - 1 \cdot - 1 b a - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + 1 b a - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.13

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a (b x) - a (- b) - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.14

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x - 1 \cdot - 1 a b - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x + 1 a b - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.16

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x + a b - a (- a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.17

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x + a b - 1 \cdot - 1 a \cdot a$

Schritt 3.3.3.1.3.1.18

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1.18.1

Bewege $a$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x + a b - 1 \cdot - 1 (a \cdot a)$

Schritt 3.3.3.1.3.1.18.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x + a b - 1 \cdot - 1 a^{2}$

Schritt 3.3.3.1.3.1.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x + a b + 1 a^{2}$

Schritt 3.3.3.1.3.1.20

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - b^{2} x - b x a - b^{2} x + b^{2} + b a - a b x + a b + a^{2}$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Subtrahiere $b^{2} x$ von $- b^{2} x$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - 2 b^{2} x - b x a + b^{2} + b a - a b x + a b + a^{2}$

Schritt 3.3.3.1.4

Subtrahiere $a b x$ von $- b x a$ .

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Schritt 3.3.3.1.4.1

Bewege $b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - 2 b^{2} x + b^{2} + b a - a b x - a b x + a b + a^{2}$

Schritt 3.3.3.1.4.2

Subtrahiere $a b x$ von $- a b x$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - 2 b^{2} x + b^{2} + b a - 2 a b x + a b + a^{2}$

Schritt 3.3.3.1.5

Addiere $b a$ und $a b$ .

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Schritt 3.3.3.1.5.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - 2 b^{2} x + b^{2} + a b + a b - 2 a b x + a^{2}$

Schritt 3.3.3.1.5.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$a^{2} x = b^{2} x^{2} - 2 b^{2} x + b^{2} + 2 a b - 2 a b x + a^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$b^{2} x^{2} - 2 b^{2} x + b^{2} + 2 a b - 2 a b x + a^{2} = a^{2} x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $a^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b^{2} x^{2} - 2 b^{2} x + b^{2} + 2 a b - 2 a b x + a^{2} - a^{2} x = 0$

Schritt 3.4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.4

Setze die Werte $a = b^{2}$ , $b = - 2 b^{2} - 2 a b - a^{2}$ und $c = b^{2} + 2 a b + a^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2}) \pm \sqrt{{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (b^{2} \cdot (b^{2} + 2 a b + a^{2}))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- (- 2 b^{2}) - (- 2 a b) + a^{2} \pm \sqrt{{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2})}^{2} - 4 \cdot b^{2} \cdot (b^{2} + 2 a b + a^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.2

Vereinfache.

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Schritt 3.4.5.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 b^{2} - (- 2 a b) + a^{2} \pm \sqrt{{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2})}^{2} - 4 \cdot b^{2} \cdot (b^{2} + 2 a b + a^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 (a b) + a^{2} \pm \sqrt{{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2})}^{2} - 4 \cdot b^{2} \cdot (b^{2} + 2 a b + a^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.2.3

Multipliziere $- - a^{2}$ .

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Schritt 3.4.5.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 (a b) + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2})}^{2} - 4 \cdot b^{2} \cdot (b^{2} + 2 a b + a^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.2.3.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 (a b) + a^{2} \pm \sqrt{{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2})}^{2} - 4 \cdot b^{2} \cdot (b^{2} + 2 a b + a^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.3

Schreibe $4 \cdot b^{2} \cdot (b^{2} + 2 a b + a^{2})$ als ${(2 b (b + a))}^{2}$ um.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2})}^{2} - {(2 b (b + a))}^{2}}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = - 2 b^{2} - 2 a b - a^{2}$ und $b = 2 b (b + a)$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} + 2 b (b + a)) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5

Vereinfache.

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Schritt 3.4.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} + 2 b \cdot b + 2 b a) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.2

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.5.5.2.1

Bewege $b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} + 2 (b \cdot b) + 2 b a) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} + 2 b^{2} + 2 b a) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.3

Addiere $- 2 b^{2}$ und $2 b^{2}$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- 2 a b - a^{2} + 0 + 2 b a) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.4

Addiere $- 2 a b$ und $0$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} - 2 a b + 2 b a) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.5

Addiere $- 2 a b$ und $2 b a$ .

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Schritt 3.4.5.5.5.1

Bewege $b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} - 2 a b + 2 a b) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.5.2

Addiere $- 2 a b$ und $2 a b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 0) (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.6

Addiere $- a^{2}$ und $0$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - (2 b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.5.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - 2 (b (b + a)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - 2 (b \cdot b + b a))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.6.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - 2 (b^{2} + b a))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 2 b^{2} - 2 a b - a^{2} - 2 b^{2} - 2 b a)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.7

Subtrahiere $2 b^{2}$ von $- 2 b^{2}$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 4 b^{2} - 2 a b - a^{2} - 2 b a)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.8

Subtrahiere $2 b a$ von $- 2 a b$ .

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Schritt 3.4.5.8.1

Bewege $b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 4 b^{2} - a^{2} - 2 a b - 2 a b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.8.2

Subtrahiere $2 a b$ von $- 2 a b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 4 b^{2} - a^{2} - 4 a b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.4.5.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 3.4.5.9.1.1

Stelle die Terme um.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} - 4 b^{2} - 4 a b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.1.2

Stelle $- 4 b^{2}$ und $- 4 a b$ um.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} - 4 a b - 4 b^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 a b$ heraus.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} - 4 (a b) - 4 b^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.1.4

Schreibe $- 4$ um als $- 2$ plus $- 2$

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} + (- 2 - 2) (a b) - 4 b^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} - 2 (a b) - 2 (a b) - 4 b^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.1.6

Versetze die Klammern.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} - 2 a b - 2 a b - 4 b^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.4.5.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} ((- a^{2} - 2 a b) - 2 a b - 4 b^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (a (- a - 2 b) + 2 b (- a - 2 b))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- a - 2 b$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} ((- a - 2 b) (a + 2 b))}}{2 b^{2}}$

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a - 2 b) (a + 2 b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.5.10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- (a) - 2 b) (a + 2 b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 b$ heraus.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- (a) - (2 b)) (a + 2 b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - (2 b)$ heraus.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- (a + 2 b)) (a + 2 b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.4

Schreibe $- (a + 2 b)$ als $- 1 (a + 2 b)$ um.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 1 (a + 2 b)) (a + 2 b)}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.5

Potenziere $a + 2 b$ mit $1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} \cdot (- 1 ((a + 2 b) (a + 2 b)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.6

Potenziere $a + 2 b$ mit $1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} \cdot (- 1 ((a + 2 b) (a + 2 b)))}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} \cdot (- 1 {(a + 2 b)}^{1 + 1})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.8

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} \cdot (- 1 {(a + 2 b)}^{2})}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{1 a^{2} {(a + 2 b)}^{2}}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.10.10

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} {(a + 2 b)}^{2}}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.11

Schreibe $a^{2} {(a + 2 b)}^{2}$ als ${(a (a + 2 b))}^{2}$ um.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm \sqrt{{(a (a + 2 b))}^{2}}}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm a (a + 2 b)}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.13

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm (a \cdot a + a (2 b))}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.14

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm (a^{2} + a (2 b))}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.5.15

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = \frac{2 b^{2} + 2 a b + a^{2} \pm (a^{2} + 2 a b)}{2 b^{2}}$

Schritt 3.4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{{(b + a)}^{2}}{b^{2}}$

$x = 1$

$x = \frac{{(b + a)}^{2}}{b^{2}}$

$x = 1$

$x = \frac{{(b + a)}^{2}}{b^{2}}$

$x = 1$