Algebra Beispiele

$a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{3} x^{2} - 16 a^{3} x + 64 a^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{3} x^{2}$ heraus.

$a^{3} (x^{2}) - 16 a^{3} x + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $a^{3}$ aus $- 16 a^{3} x$ heraus.

$a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x) + 64 a^{3} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $a^{3}$ aus $64 a^{3}$ heraus.

$a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x) + a^{3} \cdot 64 - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{3} (x^{2}) + a^{3} (- 16 x)$ heraus.

$a^{3} (x^{2} - 16 x) + a^{3} \cdot 64 - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{3} (x^{2} - 16 x) + a^{3} \cdot 64$ heraus.

$a^{3} (x^{2} - 16 x + 64) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$a^{3} (x^{2} - 16 x + 8^{2}) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$16 x = 2 \cdot x \cdot 8$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$a^{3} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2}) - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 8$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} - b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 4

Faktorisiere $b^{3}$ aus $- b^{3} x^{2} + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $b^{3}$ aus $- b^{3} x^{2}$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + 16 b^{3} x - 64 b^{3}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $b^{3}$ aus $16 b^{3} x$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x) - 64 b^{3}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $b^{3}$ aus $- 64 b^{3}$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x) + b^{3} \cdot - 64$

Schritt 4.4

Faktorisiere $b^{3}$ aus $b^{3} (- 1 x^{2}) + b^{3} (16 x)$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x) + b^{3} \cdot - 64$

Schritt 4.5

Faktorisiere $b^{3}$ aus $b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x) + b^{3} \cdot - 64$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 x - 64)$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 64 = 64$ und deren Summe gleich $b = 16$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 16 (x) - 64)$

Schritt 5.1.2

Schreibe $16$ um als $8$ plus $8$

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + (8 + 8) x - 64)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 x^{2} + 8 x + 8 x - 64)$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- 1 x^{2} + 8 x) + 8 x - 64)$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (x (- 1 x + 8) - 8 (- x + 8))$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 1 x + 8$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- 1 x + 8) (x - 8))$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} ((- x + 8) (x - 8))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- x + 8) (x - 8)$

Schritt 7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x) + 8) (x - 8)$

Schritt 7.2

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x) - 1 (- 8)) (x - 8)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 8)$ heraus.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- (x - 8)) (x - 8)$

Schritt 7.4

Schreibe $- (x - 8)$ als $- 1 (x - 8)$ um.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} (- 1 (x - 8)) (x - 8)$

Schritt 7.5

Entferne die Klammern.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 (x - 8) (x - 8)$

Schritt 7.6

Potenziere $x - 8$ mit $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 ({(x - 8)}^{1} (x - 8))$

Schritt 7.7

Potenziere $x - 8$ mit $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 ({(x - 8)}^{1} {(x - 8)}^{1})$

Schritt 7.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{1 + 1}$

Schritt 7.9

Addiere $1$ und $1$ .

$a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8

Faktorisiere ${(x - 8)}^{2}$ aus $a^{3} {(x - 8)}^{2} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere ${(x - 8)}^{2}$ aus $a^{3} {(x - 8)}^{2}$ heraus.

${(x - 8)}^{2} a^{3} + b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$

Schritt 8.2

Faktorisiere ${(x - 8)}^{2}$ aus $b^{3} \cdot - 1 {(x - 8)}^{2}$ heraus.

${(x - 8)}^{2} a^{3} + {(x - 8)}^{2} (b^{3} \cdot - 1)$

Schritt 8.3

Faktorisiere ${(x - 8)}^{2}$ aus ${(x - 8)}^{2} a^{3} + {(x - 8)}^{2} (b^{3} \cdot - 1)$ heraus.

${(x - 8)}^{2} (a^{3} + b^{3} \cdot - 1)$

Schritt 9

Schreibe $b^{3} \cdot - 1$ als ${(b \cdot - 1)}^{3}$ um.

${(x - 8)}^{2} (a^{3} + {(b \cdot - 1)}^{3})$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a$ und $b = b \cdot - 1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a + b \cdot - 1) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - 1 b) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.2

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - a (b \cdot - 1) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - a (- 1 \cdot b) + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} - 1 \cdot - 1 a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + 1 a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.6

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(b \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- 1 b)}^{2}))$

Schritt 11.1.8

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- b)}^{2}))$

Schritt 11.1.9

Wende die Produktregel auf $- b$ an.

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + {(- 1)}^{2} b^{2}))$

Schritt 11.1.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + 1 b^{2}))$

Schritt 11.1.11

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

${(x - 8)}^{2} ((a - b) (a^{2} + a b + b^{2}))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

${(x - 8)}^{2} (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$