Algebra Beispiele

$2 \sqrt{3 x + 1} = 4 x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{3 x + 1})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x + 1}$ als ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${(2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(3 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(3 x + 1)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (3 x + 1) = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (3 x) + 4 \cdot 1 = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x + 4 \cdot 1 = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$12 x + 4 = {(4 x)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(4 x)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$12 x + 4 = 4^{2} x^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$12 x + 4 = 16 x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x + 4 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $12 x + 4 - 16 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.2.1.1.1

Bewege $4$ .

$12 x - 16 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 3.2.1.1.2

Stelle $12 x$ und $- 16 x^{2}$ um.

$- 16 x^{2} + 12 x + 4 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$- 4 (4 x^{2}) + 12 x + 4 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $12 x$ heraus.

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x) + 4 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $- 4$ aus $4$ heraus.

$- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x) - 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 3 x)$ heraus.

$- 4 (4 x^{2} - 3 x) - 4 \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (4 x^{2} - 3 x) - 4 (- 1)$ heraus.

$- 4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$- 4 (4 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$- 4 (4 x^{2} + (1 - 4) x - 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 4 (4 x^{2} + x - 4 x - 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 4 ((4 x^{2} + x) - 4 x - 1) = 0$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 4 (x (4 x + 1) - (4 x + 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 x + 1$ .

$- 4 ((4 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $4 x + 1$ gleich $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $4 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 (4 x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{4}, 1$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $2 \sqrt{3 x + 1} = 4 x$ nicht erfüllen.

$x = 1$