Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $x$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x^{2} - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{x (x^{2} - \frac{1}{x})}{x (1 - \frac{1}{x})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{x})}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \frac{- 1}{x}}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \frac{- 1}{x}}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 + x (- \frac{1}{x})}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 + x \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 + x \frac{- 1}{x}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 4.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x \cdot 1 - 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $x^{2} + x + 1$ durch $1$ .

$x^{2} + x + 1$