Algebra Beispiele

$\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{a^{2} - 2^{2}}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 2$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{x y + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $x y + 3 y$ heraus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y x + 3 y}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $y$ aus $3 y$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y x + y \cdot 3}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot 3$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a^{2} - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $a$ aus $a^{2} - 2 a$ heraus.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a \cdot a - 2 a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $a$ aus $- 2 a$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a \cdot a + a \cdot - 2} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot a + a \cdot - 2$ heraus.

$\frac{(a + 2) (a - 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a (a - 2)} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 2$ .

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $a - 2$ aus $(a + 2) (a - 2)$ heraus.

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a (a - 2)} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $a - 2$ aus $a (a - 2)$ heraus.

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{(a - 2) a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 2) (a + 2)}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{(a - 2) a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{y (x + 3)}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $y (x + 3)$ heraus.

$\frac{a + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) y}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + 2}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x + 3) y}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 2}{x - 3} \cdot \frac{y}{a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $\frac{a + 2}{x - 3}$ mit $\frac{y}{a}$ .

$\frac{(a + 2) y}{(x - 3) a} + \frac{2 - y}{x - 3}$

Schritt 2

Um $\frac{2 - y}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + 2) y}{(x - 3) a} + \frac{2 - y}{x - 3} \cdot \frac{a}{a}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{2 - y}{x - 3}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + 2) y}{(x - 3) a} + \frac{(2 - y) a}{(x - 3) a}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a + 2) y + (2 - y) a}{(x - 3) a}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a y + 2 y + (2 - y) a}{(x - 3) a}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a y + 2 y + 2 a - y a}{(x - 3) a}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $y a$ von $a y$ .

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Schritt 4.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{2 y + 2 a + a y - 1 a y}{(x - 3) a}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $a y$ von $a y$ .

$\frac{2 y + 2 a + 0}{(x - 3) a}$

Schritt 4.4

Addiere $2 y + 2 a$ und $0$ .

$\frac{2 y + 2 a}{(x - 3) a}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 a$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{2 (y) + 2 a}{(x - 3) a}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$\frac{2 (y) + 2 (a)}{(x - 3) a}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y) + 2 (a)$ heraus.

$\frac{2 (y + a)}{(x - 3) a}$

Schritt 5

Stelle die Faktoren in $\frac{2 (y + a)}{(x - 3) a}$ um.

$\frac{2 (y + a)}{a (x - 3)}$