Algebra Beispiele

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \leq 9$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ als ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 9^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 9^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \leq 9^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 9^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 \leq 81$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

Schritt 3.2

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $81$ von $9$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 12 x - 72$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 72$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ heraus.

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ heraus.

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 3.4.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 3$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \leq 9$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite $15$ ist größer als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \leq 9$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $3$ ist kleiner als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \leq 9$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $13$ ist größer als die rechte Seite $9$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 3 \leq x \leq 6$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 3 \leq x \leq 6$

Intervallschreibweise:

$[- 3, 6]$

Schritt 8