Algebra Beispiele

$2 \sqrt{x} + 3 \leq 8$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $2 \sqrt{x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 \sqrt{x} \leq 8 - 3$

Schritt 1.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$2 \sqrt{x} \leq 5$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 5^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 5^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 5^{2}$

Schritt 3.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} \leq 5^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache.

$4 x \leq 5^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$4 x \leq 25$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 x \leq 25$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \leq 25$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{25}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{25}{4}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $2 \sqrt{x} - 5$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{25}{4}$

$x > \frac{25}{4}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{- 2} + 3 \leq 8$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{25}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{25}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{3} + 3 \leq 8$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $6.46410161$ ist kleiner als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{25}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{25}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \sqrt{9} + 3 \leq 8$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $9$ ist größer als die rechte Seite $8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{25}{4}$ Wahr

$x > \frac{25}{4}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{25}{4}$ Wahr

$x > \frac{25}{4}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 \leq x \leq \frac{25}{4}$

Intervallschreibweise:

$[0, \frac{25}{4}]$

Schritt 10