Algebra Beispiele

$\frac{1}{x^{2} - x y} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x y$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x \cdot x - x y} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x y$ heraus.

$\frac{1}{x \cdot x + x (- 1 y)} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 1 y)$ heraus.

$\frac{1}{x (x - 1 y)} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{1}{x (x - y)} - \frac{y^{2}}{x^{2} - y^{2}} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{1}{x (x - y)} - \frac{y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2}}{(x + y) (x - y)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- y^{2}}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{3}}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{2} y}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y^{2} y}$

Schritt 1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x + y}{y}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{x - y} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{- 1}{x - y}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{x (x - y)} + \frac{- 1}{(x - y) y}$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x (x - y)} - \frac{1}{(x - y) y}$

Schritt 2

Um $\frac{1}{x (x - y)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{(x - y) y}$

Schritt 3

Um $- \frac{1}{(x - y) y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1}{x (x - y)} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{(x - y) y} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x - y) y$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x (x - y)}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{x (x - y) y} - \frac{1}{(x - y) y} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(x - y) y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y}{x (x - y) y} - \frac{x}{(x - y) y x}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $x (x - y) y$ um.

$\frac{y}{x y (x - y)} - \frac{x}{(x - y) y x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(x - y) y x$ um.

$\frac{y}{x y (x - y)} - \frac{x}{x y (x - y)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y - x}{x y (x - y)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y - x$ und $x - y$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{- 1 (- y) - x}{x y (x - y)}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 1 (- y) - (x)}{x y (x - y)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- y) - (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (- y + x)}{x y (x - y)}$

Schritt 6.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)}$

Schritt 6.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x y}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x y}$