Algebra Beispiele

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{a^{3} + 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{a^{3} + 1^{3}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a$ und $b = 1$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})}$

Schritt 1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 2

Um $\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a^{2} - a + 1) (a + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1 - a}{a^{2} - a + 1}$ mit $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{(1 - a) (a + 1)}{(a^{2} - a + 1) (a + 1)} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(a^{2} - a + 1) (a + 1)$ um.

$\frac{(1 - a) (a + 1)}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)} + \frac{a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - a) (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Multipliziere $(1 - a) (a + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (a + 1) - a (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 a + 1 \cdot 1 - a (a + 1) + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 a + 1 \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a + 1 \cdot 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{a + 1 - a \cdot a - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.2.1.3

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.3.1

Bewege $a$ .

$\frac{a + 1 - (a \cdot a) - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.2.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a + 1 - a^{2} - a \cdot 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{a + 1 - a^{2} - a + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{1 - a^{2} + 0 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- a^{2} + 1 + a^{2}}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.3

Addiere $- a^{2}$ und $a^{2}$ .

$\frac{0 + 1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}$