Algebra Beispiele

\frac{1}{125} x^{3} + 27 y^{3}

$\frac{1}{125} x^{3} + 27 y^{3}$

Schritt 1

Schreibe

\frac{1}{125} x^{3}

$\frac{1}{125} x^{3}$ als

{(\frac{1}{5} x)}^{3}

${(\frac{1}{5} x)}^{3}$ um.

{(\frac{1}{5} x)}^{3} + 27 y^{3}

${(\frac{1}{5} x)}^{3} + 27 y^{3}$

Schritt 2

Schreibe

27 y^{3}

$27 y^{3}$ als

{(3 y)}^{3}

${(3 y)}^{3}$ um.

{(\frac{1}{5} x)}^{3} + {(3 y)}^{3}

${(\frac{1}{5} x)}^{3} + {(3 y)}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei

a = \frac{1}{5} x

$a = \frac{1}{5} x$ und

b = 3 y

$b = 3 y$ .

(\frac{1}{5} x + 3 y) ({(\frac{1}{5} x)}^{2} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})

$(\frac{1}{5} x + 3 y) ({(\frac{1}{5} x)}^{2} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ und

x

$x$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) ({(\frac{1}{5} x)}^{2} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) ({(\frac{1}{5} x)}^{2} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.2

Kombiniere

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ und

x

$x$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) ({(\frac{x}{5})}^{2} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) ({(\frac{x}{5})}^{2} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf

\frac{x}{5}

$\frac{x}{5}$ an.

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{5^{2}} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{5^{2}} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.4

Potenziere

5

$5$ mit

2

$2$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - (\frac{1}{5} x) (3 y) + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.5

Kombiniere

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ und

x

$x$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{x}{5} (3 y) + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{x}{5} (3 y) + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.6

Multipliziere

- \frac{x}{5} (3 y)

$- \frac{x}{5} (3 y)$ .

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

- 1

$- 1$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - 3 \frac{x}{5} y + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - 3 \frac{x}{5} y + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.6.2

Kombiniere

- 3

$- 3$ und

\frac{x}{5}

$\frac{x}{5}$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} + \frac{- 3 x}{5} y + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} + \frac{- 3 x}{5} y + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.6.3

Kombiniere

\frac{- 3 x}{5}

$\frac{- 3 x}{5}$ und

y

$y$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} + \frac{- 3 x y}{5} + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} + \frac{- 3 x y}{5} + {(3 y)}^{2})$

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} + \frac{- 3 x y}{5} + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} + \frac{- 3 x y}{5} + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 x y}{5} + {(3 y)}^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 x y}{5} + {(3 y)}^{2})$

Schritt 4.8

Wende die Produktregel auf

3 y

$3 y$ an.

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 x y}{5} + 3^{2} y^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 x y}{5} + 3^{2} y^{2})$

Schritt 4.9

Potenziere

3

$3$ mit

2

$2$ .

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 x y}{5} + 9 y^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 x y}{5} + 9 y^{2})$

Schritt 4.10

Faktorisiere.

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Schritt 4.10.1

Faktorisiere

\frac{1}{25}

$\frac{1}{25}$ aus jedem Term raus.

(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2}))

$(\frac{x}{5} + 3 y) (\frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2}))$

Schritt 4.10.2

Entferne unnötige Klammern.

(\frac{x}{5} + 3 y) \frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) \frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2})$

(\frac{x}{5} + 3 y) \frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) \frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2})$

(\frac{x}{5} + 3 y) \frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2})

$(\frac{x}{5} + 3 y) \frac{1}{25} (x^{2} - 15 x y + 225 y^{2})$