Algebra Beispiele

$\frac{2 a + b}{2 a^{2} - a b} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $a$ aus $2 a^{2} - a b$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $a$ aus $2 a^{2}$ heraus.

$\frac{2 a + b}{a (2 a) - a b} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $a$ aus $- a b$ heraus.

$\frac{2 a + b}{a (2 a) + a (- 1 b)} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a (2 a) + a (- 1 b)$ heraus.

$\frac{2 a + b}{a (2 a - 1 b)} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{4 a^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{{(2 a)}^{2} - b^{2}} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a$ und $b = b$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{2 a^{2} + a b}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $a$ aus $2 a^{2} + a b$ heraus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $a$ aus $2 a^{2}$ heraus.

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a) + a b}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $a$ aus $a b$ heraus.

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a) + a (b)}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $a$ aus $a (2 a) + a (b)$ heraus.

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 2

Um $\frac{2 a + b}{a (2 a - b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 a + b}{2 a + b}$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} \cdot \frac{2 a + b}{2 a + b} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 3

Um $- \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{2 a + b}{a (2 a - b)} \cdot \frac{2 a + b}{2 a + b} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $a (2 a - b) (2 a + b)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 a + b}{a (2 a - b)}$ mit $\frac{2 a + b}{2 a + b}$ .

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a - b) (2 a + b)} - \frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)} \cdot \frac{a}{a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{16 a}{(2 a + b) (2 a - b)}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a - b) (2 a + b)} - \frac{16 a \cdot a}{(2 a + b) (2 a - b) a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $a (2 a - b) (2 a + b)$ um.

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{16 a \cdot a}{(2 a + b) (2 a - b) a} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(2 a + b) (2 a - b) a$ um.

$\frac{(2 a + b) (2 a + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 a + b) (2 a + b) - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2 a + b$ mit $1$ .

$\frac{{(2 a + b)}^{1} (2 a + b) - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $2 a + b$ mit $1$ .

$\frac{{(2 a + b)}^{1} {(2 a + b)}^{1} - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(2 a + b)}^{1 + 1} - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(2 a + b)}^{2} - 16 a \cdot a}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $16 a \cdot a$ als ${(4 a)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 a + b)}^{2} - {(4 a)}^{2}}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a + b$ und $b = 4 a$ .

$\frac{(2 a + b + 4 a) (2 a + b - (4 a))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.7

Vereinfache.

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Schritt 6.1.7.1

Addiere $2 a$ und $4 a$ .

$\frac{(6 a + b) (2 a + b - (4 a))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(6 a + b) (2 a + b - 4 a)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.1.7.3

Subtrahiere $4 a$ von $2 a$ .

$\frac{(6 a + b) (- 2 a + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 a + b$ und $2 a - b$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a$ heraus.

$\frac{(6 a + b) (- (2 a) + b)}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $b$ heraus.

$\frac{(6 a + b) (- (2 a) - 1 (- b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 a) - 1 (- b)$ heraus.

$\frac{(6 a + b) (- (2 a - b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.2.4

Schreibe $- (2 a - b)$ als $- 1 (2 a - b)$ um.

$\frac{(6 a + b) (- 1 (2 a - b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(6 a + b) (- 1 (2 a - b))}{a (2 a + b) (2 a - b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.2.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(6 a + b) \cdot (- 1)}{a (2 a + b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $6 a + b$ .

$\frac{- 1 \cdot (6 a + b)}{a (2 a + b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 a + b}{a (2 a + b)} - \frac{2 a - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (6 a + b) - (2 a - b)}{a (2 a + b)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (6 a) - b - (2 a - b)}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 a - b - (2 a - b)}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 6 a - b - (2 a) - - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 a - b - 2 a - - b}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.1.5

Multipliziere $- - b$ .

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Schritt 8.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 6 a - b - 2 a + 1 b}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.1.5.2

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$\frac{- 6 a - b - 2 a + b}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 a - b - 2 a + b$ .

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Schritt 8.2.1

Addiere $- b$ und $b$ .

$\frac{- 6 a - 2 a + 0}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 6 a - 2 a$ und $0$ .

$\frac{- 6 a - 2 a}{a (2 a + b)}$

Schritt 8.3

Subtrahiere $2 a$ von $- 6 a$ .

$\frac{- 8 a}{a (2 a + b)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 a}{a (2 a + b)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 8}{2 a + b}$

Schritt 10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{2 a + b}$