Algebra Beispiele

$(\frac{2 a + b}{a} - \frac{a + 2 b}{b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 1

Um $\frac{2 a + b}{a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b}{b}$ .

$(\frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{a + 2 b}{b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 2

Um $- \frac{a + 2 b}{b}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$(\frac{2 a + b}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{a + 2 b}{b} \cdot \frac{a}{a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $a b$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{2 a + b}{a}$ mit $\frac{b}{b}$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{a + 2 b}{b} \cdot \frac{a}{a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{a + 2 b}{b}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{(a + 2 b) a}{b a}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $b a$ um.

$(\frac{(2 a + b) b}{a b} - \frac{(a + 2 b) a}{a b}) \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 a + b) b - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a b + b \cdot b - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - (a + 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a b + b^{2} + (- a - (2 b)) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 a b + b^{2} + (- a - 2 b) a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 a b + b^{2} - a \cdot a - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.6

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.1

Bewege $a$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{2 a b + b^{2} - a^{2} - 2 b a}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.7

Subtrahiere $2 b a$ von $2 a b$ .

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Schritt 5.7.1

Bewege $b$ .

$\frac{b^{2} - a^{2} + 2 a b - 2 a b}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $2 a b$ von $2 a b$ .

$\frac{b^{2} - a^{2} + 0}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.8

Addiere $b^{2} - a^{2}$ und $0$ .

$\frac{b^{2} - a^{2}}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 5.9

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = b$ und $b = a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b^{2} + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $b$ aus $b^{2} + a b$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $b$ aus $b^{2}$ heraus.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b \cdot b + a b} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $b$ aus $a b$ heraus.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b \cdot b + b a} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $b$ aus $b \cdot b + b a$ heraus.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b^{2} - a b})$

Schritt 6.2

Faktorisiere $b$ aus $b^{2} - a b$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $b$ aus $b^{2}$ heraus.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b \cdot b - a b})$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $b$ aus $- a b$ heraus.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b \cdot b + b (- a)})$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $b$ aus $b \cdot b + b (- a)$ heraus.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} + \frac{a + b}{b (b - a)})$

Schritt 7

Um $\frac{a - b}{b (b + a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{a + b}{b (b - a)})$

Schritt 8

Um $\frac{a + b}{b (b - a)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{a - b}{b (b + a)} \cdot \frac{b - a}{b - a} + \frac{a + b}{b (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a})$

Schritt 9

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $b (b + a) (b - a)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $\frac{a - b}{b (b + a)}$ mit $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{a + b}{b (b - a)} \cdot \frac{b + a}{b + a})$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{a + b}{b (b - a)}$ mit $\frac{b + a}{b + a}$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{(a + b) (b + a)}{b (b - a) (b + a)})$

Schritt 9.3

Stelle die Faktoren von $b (b - a) (b + a)$ um.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot (\frac{(a - b) (b - a)}{b (b + a) (b - a)} + \frac{(a + b) (b + a)}{b (b + a) (b - a)})$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + (a + b) (b + a)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + (a + b) (a + b)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.2

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1} (a + b)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.3

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1}}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{1 + 1}}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a - b) (b - a) + {(a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.6

Schreibe $(- a + b) (b - a)$ als ${(- a + b)}^{2}$ um.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{- {(- a + b)}^{2} + {(a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.7

Stelle $- {(- a + b)}^{2}$ und ${(a + b)}^{2}$ um.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{{(a + b)}^{2} - {(- a + b)}^{2}}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a + b$ und $b = - a + b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(a + b - a + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9

Vereinfache.

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Schritt 11.9.1

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(b + 0 + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.2

Addiere $b$ und $0$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{(b + b) (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.3

Addiere $b$ und $b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b - (- a + b))}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b - - a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.5

Multipliziere $- - a$ .

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Schritt 11.9.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b + 1 a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.5.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (a + b + a - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.6

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (2 a + b - b)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.7

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b (2 a + 0)}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.8

Addiere $2 a$ und $0$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{2 b \cdot 2 a}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 11.9.9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{b (b + a) (b - a)}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(b + a) (b - a)$ .

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $(b + a) (b - a)$ aus $b (b + a) (b - a)$ heraus.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{(b + a) (b - a) (b)}$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(b + a) (b - a)}{a b} \cdot \frac{4 b a}{(b + a) (b - a) b}$

Schritt 12.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{a b} \cdot \frac{4 b a}{b}$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b a$ .

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Schritt 12.2.1

Faktorisiere $b a$ aus $a b$ heraus.

$\frac{1}{b a (1)} \cdot \frac{4 b a}{b}$

Schritt 12.2.2

Faktorisiere $b a$ aus $4 b a$ heraus.

$\frac{1}{b a (1)} \cdot \frac{b a (4)}{b}$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{b a \cdot 1} \cdot \frac{b a \cdot 4}{b}$

Schritt 12.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{b}$