Algebra Beispiele

$3 x - y^{2} = 8 y + 1$

Schritt 1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Bewege $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.1.1.2

Stelle $\frac{8 y}{3}$ und $\frac{y^{2}}{3}$ um.

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$

Schritt 3.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$ an.

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{8}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

Schritt 3.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{4}{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.3.2.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Schritt 3.1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.3.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

Schritt 3.1.2.3.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 3.1.2.3.2.6

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 3.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{3}$ an.

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.1.2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 3.1.2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 3.1.2.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Schritt 3.1.2.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

Schritt 3.1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

Schritt 3.1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Schritt 3.1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 3.1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{1 - 16}{3}$

Schritt 3.1.2.4.2.3

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$e = \frac{- 15}{3}$

Schritt 3.1.2.4.2.4

Dividiere $- 15$ durch $3$ .

$e = - 5$

Schritt 3.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$ ein.

$\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$

Schritt 3.1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

Schritt 3.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 5$

$k = - 4$

Schritt 3.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet.

Öffnet nach Rechts

Schritt 3.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, - 4)$

Schritt 3.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 3.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 3.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Schritt 3.5.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{3}{4})$

Schritt 3.5.3.3

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 3.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 3.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 3.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{17}{4}, - 4)$

Schritt 3.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = - 4$

Schritt 3.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 3.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 3.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = - \frac{23}{4}$

Schritt 3.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 5, - 4)$

Brennpunkt: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = - \frac{23}{4}$

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 5, - 4)$

Brennpunkt: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = - \frac{23}{4}$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 4$ in $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 4, - 5.7320508)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Addiere $- 4$ und $5$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 - \sqrt{3}$ .

$y = - 4 - \sqrt{3}$

Schritt 4.1.3

Konvertiere $- 4 - \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= - 5.7320508$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 4$ in $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 4, - 2.26794919)$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Addiere $- 4$ und $5$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3}$

Schritt 4.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 + \sqrt{3}$ .

$y = - 4 + \sqrt{3}$

Schritt 4.2.3

Konvertiere $- 4 + \sqrt{3}$ nach Dezimal.

$= - 2.26794919$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, - 6.44948974)$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Addiere $- 3$ und $5$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{6}$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 - \sqrt{6}$ .

$y = - 4 - \sqrt{6}$

Schritt 4.3.3

Konvertiere $- 4 - \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= - 6.44948974$

Schritt 4.4

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, - 1.55051025)$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1.1

Addiere $- 3$ und $5$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{6}$

Schritt 4.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- 4 + \sqrt{6}$ .

$y = - 4 + \sqrt{6}$

Schritt 4.4.3

Konvertiere $- 4 + \sqrt{6}$ nach Dezimal.

$= - 1.55051025$

Schritt 4.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Schritt 5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach rechts offen

Scheitelpunkt: $(- 5, - 4)$

Brennpunkt: $(- \frac{17}{4}, - 4)$

Symmetrieachse: $y = - 4$

Leitlinie: $x = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

Schritt 6